Exercícios Resolvidos de Pressão da Radiação Eletromagnética

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana e monocromática, com comprimento de onda λ , propaga-se no vácuo, no sentido negativo do eixo x . A onda incide perpendicularmente sobre uma superfície condutora perfeita, conforme a figura abaixo.

  1. Escreva a expressão do vetor campo elétrico incidente E i → em termos de sua amplitude E 0 e do comprimento de onda λ , sabendo que o campo oscila ao longo da direção y e assume seu valor máximo (positivo) em x = 0 , no instante t = 0 .
  2. Determine o campo magnético da onda incidente B i → , a partir de E i → .
  3. Determine o vetor campo elétrico da onda refletida E r → , a partir do fato que o campo elétrico total se anula na superfície do metal.
  4. Determine o vetor campo magnético da onda refletida B r → , a partir de E r → .
  5. Calcule a pressão de radiação P r a d exercida pela onda sobre a superfície condutora perfeita.

Passo 1

Letra a)

Qual vai ser a expressão de E i → ?

Bem, desconsiderando a direção, o campo elétrico é igual à sua amplitude multiplicada por uma função trigonométrica.

O argumento da função depende do sentido e direção de propagação da onda. Como nesse caso ela se propaga ao longo de - i ^ (sentido negativo do eixo x ), o argumento vai ser k x + ω t + φ (Se acompanharmos uma frente de onda, quando o tempo passa, para esse argumento se manter constante é necessário que x diminua).

A expressão então vai ser:

E i x , t = E 0 sen ⁡ k x + ω t + φ

O motivo de ter o φ na expressão é porque não sabemos a fase do campo elétrico (ou seja, embora eu tenha posto a função “seno”, isso foi uma escolha totalmente arbitrária da minha parte).

Porém, sabemos que para x = 0 e t = 0 , o valor do campo elétrico é máximo. Então por um lado:

E i 0,0 = E 0

Mas por outro:

E i 0,0 = E 0 sen ⁡ φ

Igualando os dois, vemos que sen ⁡ φ = 1 , o que implica que φ = π / 2   r a d (equivalente a 90°). Nossa expressão fica:

E i x , t = E 0 sen ⁡ k x + ω t + π / 2 = E 0 cos ⁡ k x + ω t

Então se tivéssemos escolhido cosseno logo, já tava safo...

Por fim, a gente quer a expressão do vetor campo elétrico. Como ele vibra ao longo da direção j ^ (eixo y ), temos:

E i → x , t = E 0 cos ⁡ k x + ω t j ^

E acabou, ufa! Calma aí, tão me chamando ali na produção... não acabou? AHN, ele queria tudo em função de λ !

Ok então gente, vamos lembrar de algumas relações pra ondas:

k = 2 π λ

ω = 2 π f = 2 π c λ

Pronto, agora sim!

E i → x , t = E 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t j ^

Passo 2

Letra b)

Agora queremos o campo magnético. É, também acho que quem escreveu essa questão tinha que decidir de uma vez o que ele queria!

Mas tudo bem, porque pra achar o campo magnético, temos a nossa linda e maravilhosa expressão:

B i = E i c

Que significa:

B i = E 0 c cos ⁡ 2 π λ x + c t

Agora só falta definir a direção de vibração de B → i . Bem, ela é sempre perpendicular a E → , o que significa que definitivamente é ao longo do eixo z (a outra opção era o eixo x , mas luz não vibra na direção que ela tá indo, isso seria... sei lá, estranho).

Mas qual o sentido (da vida, o universo e tudo mais?)? Ou seja, está ao longo de k ^ ou de - k ^ ?

O produto vetorial E → × B → está na direção da propagação da onde. Usando a regra da mão direita, de B → estivesse vibrando ao longo de k ^ , a onda estaria indo pro sentido positivo do eixo x .

Então, B → vibra de alegria ao longo de - k ^ . EBA!

B i → = E 0 c cos ⁡ 2 π λ x + c t - k ^

(Se você quiser, pode colocar o sinal de menos na frente da expressão toda, eu deixo.)

Passo 3

Letra c)

Qual a expressão do campo elétrico refletido E r → ?

Bem, COMO EU VOU SABER ISSO? Acalme-se! Não vamos nos desesperar!

Ele diz que o campo elétrico total se anula na superfície do metal. Isso significa que:

E r → 0 , t + E i → 0 , t = 0

Pra isso ser possível, eles precisam estar vibrando em sentidos opostos. Ou seja:

E r → = - E i →

Como E i → vibra na direção e sentido j ^ , então E r → vibra na direção e sentido - j ^ .

Por fim, ele segue na direção positiva do eixo x , o que significa que o argumento na função trigonométrica passaria a ser

k x - ω t = 2 π λ x - c t

Logo, a sua expressão vai ser...

E r → x , t = E 0 cos ⁡ 2 π λ x - c t - j ^

Só uma observação: Tem uma outra forma de enxergar a direção e sentido - j ^ . Do que acabamos de falar em x = 0 , temos que:

E r 0,0 = - E i 0,0 = - E 0

Ou seja, fazemos tudo do início, como antes, mas dessa vez considerando o argumento como sendo k x - ω t + φ .

E r 0,0 = E 0 sen ⁡ φ = - E 0

sen ⁡ φ = - 1

φ = 3 π 2

O que equivale a 270°. Acontece que:

sen ⁡ k x - ω t + 3 π 2 = - cos ⁡ k x - ω t

Tá vendo? Eu disse que eu deixava você colocar o sinal do sentido de vibração na frente da expressão inteira!

Passo 4

Letra d)

Isso já tá ficando chato.

Vamos lá, as mesmas etapas:

B r = E r c = E 0 c cos ⁡ 2 π λ x - c t

Para a direção de vibração, B r → é perpendicular a E r → , logo ele vibra ao longo do eixo z .

Como a onda está indo na direção positiva do eixo x , então B r → tem que ter o sentido de vibração como sendo o sentido negativo do eixo z , que é - k ^ . Logo:

B r → = E 0 c cos ⁡ 2 π λ x - c t - k ^

Passo 5

Letra e)

A questão não nos disse se a superfície é um refletor perfeito ou um absorvedor perfeito. Mas ela nos disse que a superfície é um condutor perfeito.

Isso significa que ela é maravilhosa em conduzir eletricidade, e por isso as cargas na placa se afastam, e ficam todas na sua superfície.

Esse fato faz com que a placa condutora perfeita reflita a onda que acabamos de analisar (a onda refletida cancelando a onda incidente), evitando qualquer penetração da luz no material.

Se a luz não é absorvida, e a gente sabe que a luz é refletida... bem, isso me parece um refletor perfeito!

Ou seja, um condutor perfeito é também um refletor perfeito. (Sabe teu espelho? Esse aí que tu tem em casa? Então, quem reflete a luz tão bem é um sal de prata no fundo do vidro!)

Muito blá blá blá, mas o resultado é que:

P r a d = 2 I c = 2 c ⋅ E 0 2 2 μ 0 c = E 0 2 μ 0 c 2 = ϵ 0 E 0 2

Onde P r a d = 2 I / c porque a superfície é um refletor perfeito e por causa da conservação do momento linear que a luz carrega.

Resposta

Letra a)

E i → x , t = E 0 cos ⁡ 2 π λ x + c t j ^

Letra b)

B i → = E 0 c cos ⁡ 2 π λ x + c t - k ^

Letra c)

E r → x , t = E 0 cos ⁡ 2 π λ x - c t - j ^

Letra d)

B r → = E 0 c cos ⁡ 2 π λ x - c t - k ^

Letra e)

P r a d = ϵ 0 E 0 2

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