Teoria Completa
Cara, em probabilidade a gente vai sempre querer calcular a chance de algum resultado acontecer dentro de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
O que é experimento aleatório ?
Pensa num lançamento de uma moeda. A gente pode lançar a moeda quantas vezes a gente quiser que sempre vai dar ou cara ou coroa, certo? Mesmo que a gente não tenha certeza do resultado, só temos essas duas opções.
No lançamento de um dado, por exemplo, também é a mesma coisa. Antes de jogar o dado a gente nunca pode dar certeza do resultado. Mas uma coisa é certa, vai ser um número de um a seis.
Experimento aleatório é isso, quando sabemos os possíveis resultados, mas não podemos afirmar, a princípio, qual acontecerá.
O que é espaço amostral ?
No caso da moeda o espaço amostral seria: cara ou coroa. E no caso do dado seria os números: .
Isso mostra para a gente que espaço amostral é o conjunto formado pelos possíveis resultados do experimento aleatório.
Notação: espaço amostral
Ex: No lançamento de um dado
E evento, o que é ?
Ainda no caso do lançamento do dado, vamos supor que eu quisesse que saísse um número par. Isso seria o nosso evento.
Evento é um subconjunto formado por possíveis resultados do nosso experimento aleatório.
Notação: representarão os eventos.
Naquele caso de sair um número par, se chamarmos esse evento de , vamos ter
Note que o nosso espaço amostral é formado por dois conjuntos/eventos:
A – números pares possíveis
B – números ímpares possíveis.
Estes eventos não possuem elementos em comum, correto? E tem mais de zero elementos, certo? Então, essa é uma outra forma de definir o espaço amostral: Será a união de conjuntos não-vazios e que não possuem nenhuma interseção.
Tudo certo até aqui? Vamos fazer alguns exercícios…
Exercício Resolvido #1
Duas moedas são lançadas. Dê o espaço amostral para esse experimento. Represente esse espaço amostral como o produto cartesiano de dois outros espaços amostrais.
Passo 1
Quando lançamos uma moeda temos duas possibilidades: cara (K) ou coroa (C).
Se lançarmos duas moedas, poderemos ter as seguintes combinações:
Passo 2
Representando em um plano cartesiano, como produto de dois outros espaços amostrais (os espaços amostrais de cada moeda):
Resposta
Exercício Resolvido #2
Considere o experimento aleatório do lançamento de um dado. Crie três possíveis eventos diferentes para esse experimento.
Passo 1
Vaamos lá! Cara, ele diz que nosso experimento aleatório é o lançamento de um dado. Ou seja, sabemos que nosso espaço amostral é o seguinte:
Dito isso, ele pede pra gente criar três eventos diferentes pra esse experimento.
Bom, temos bastante liberdade aqui, então vamos pensar em um primeiro evento .
Olhando pros nossos possíveis resultados (espaço amostral), basta pegarmos os possíveis números pares que podem sair.
Logo:
Passo 2
Cara, já pensamos na saída dos números pares, vamos criar um evento dos eventos ímpares então!
Olhando novamento pro nosso espaço amostral, temos que pegar os números ímpares que podem sair.
Passo 3
Por último, vamos tentar ser mais criativos?! Que tal o seguinte evento:
Vamos lá, seguindo a mesma rotina, vamos buscar quais são os possíveis números primos que podem sair:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis resultados desse experimento.
Passo 1
Um dado possui seis faces numeradas de 1 a 6.
O enunciado fala que iremos lançar um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez, ou seja, para nós nessa questão só existem dois tipo de face:
- Igual a 5 Vamos chamar de evento I
- Diferente de 5: {1,2,3,4,6} Vamos chamar de evento D
Nossa possíveis resultados serão:
a) Na primeira vez que eu jogar sair 5.
b) Na primeira vez que eu jogar sair uma face qualquer diferente de 5 e na segunda vez sair uma face 5
c) Na primeira e segunda vez que eu jogar sair uma face qualquer diferente de 5 e na terceira vez sair uma face 5
A partir daí notamos que os resultados são infinitos, pois só pararei de jogar o dado quando a face 5 aparecer. Podemos escrever então desta forma:
{(I); (DI); (DDI); (DDDI); ...(D...DI)}
Resposta
{(I); (DI); (DDI); (DDDI); ...(D...DI)}
Exercício Resolvido #4
Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra. Lembrando que o lançamento da moeda ou a retirada de outra bola valem só na primeira retirada. Dê um espaço amostral para o experimento.
Passo 1
Nós temos uma urna com:
- Duas bolas brancas (B) e
- Três bolas vermelhas (V).
A primeira retirada pode ser qualquer cor, contudo dependendo da cor da primeira bola iremos realizar ações diferentes:
(i) Se for branca lançaremos uma moeda
(ii) Se for vermelha retiraremos outra.
Iremos olhar o espaço amostral de cada caso separadamente e depois fazer a união deles.
Passo 2
Vamos olhar para o caso (i), ou seja, a primeira bola retirada é branca.
Neste caso iremos lançar uma moeda, que poderá cair como cara (K) ou coroa (C).
O espaço amostral para esse caso será: {(BK), (BC)}
Passo 3
Agora olhando para o caso (ii), ou seja, a primeira bola é vermelha.
Neste caso iremos retirar outra bola da urna, podendo ser branca ou vermelha.
O espaço amostral para esse caso será: {(VB), (VV)}
Resposta
{(BK),(BC),(VB),(VV)}
Exercício Resolvido #5
Uma urna contém 3 bolas, uma amarela, uma vermelha e uma azul. São sorteadas duas bolas com reposição (ou seja, a primeira bola retirada é recolocada na urna antes de retirar-se a segunda bola). Quantos elementos existem no espaço amostral desse sorteio?
Passo 1
O espaço amostral são quantas combinações possíveis de 2 bolas podemos fazer nesse sorteio, certo? Vamos listá-las então.Vamos denotar:
Vamos também listar nosso sorteio com a primeira bola e a segunda bola sorteada separadas por vírgulas. Sabendo disso, podemos tirar:
Então essas combinações aí são nosso espaço amostral, ou seja:
Lembrando que podemos tirar duas amarelas, duas vemelhas ou duas azuis porque temos reposição da primeira bola do sorteio!
Passo 2
Contando todos os elementos desse espaço amostral definido por nós, podemos afirmar que:
Resposta
9 elementos