Espaço Amostral

Resumo Completo

Cara, em probabilidade a gente vai sempre querer calcular a chance de algum resultado acontecer dentro de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

O que é experimento aleatório ?

Pensa num lançamento de uma moeda. A gente pode lançar a moeda quantas vezes a gente quiser que sempre vai dar ou cara ou coroa, certo? Mesmo que a gente não tenha certeza do resultado, só temos essas duas opções.

No lançamento de um dado, por exemplo, também é a mesma coisa. Antes de jogar o dado a gente nunca pode dar certeza do resultado. Mas uma coisa é certa, vai ser um número de um a seis.

Experimento aleatório é isso, quando sabemos os possíveis resultados, mas não podemos afirmar, a princípio, qual acontecerá.

O que é espaço amostral ?

No caso da moeda o espaço amostral seria: cara ou coroa. E no caso do dado seria os números: 1,2 , 3,4 , 5,6 .

Isso mostra para a gente que espaço amostral é o conjunto formado pelos possíveis resultados do experimento aleatório.

Notação: Ω espaço amostral

Ex: No lançamento de um dado

Ω { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

E evento, o que é ?

Ainda no caso do lançamento do dado, vamos supor que eu quisesse que saísse um número par. Isso seria o nosso evento.

Evento é um subconjunto formado por possíveis resultados do nosso experimento aleatório.

Notação: A , B , C , representarão os eventos.

Naquele caso de sair um número par, se chamarmos esse evento de A , vamos ter

A = { 2,4 , 6 }

Note que o nosso espaço amostral é formado por dois conjuntos/eventos:

A – números pares possíveis

B – números ímpares possíveis.

Estes eventos não possuem elementos em comum, correto? E tem mais de zero elementos, certo? Então, essa é uma outra forma de definir o espaço amostral: Será a união de conjuntos não-vazios e que não possuem nenhuma interseção.

Ω = A B C D E

Tudo certo até aqui? Vamos fazer alguns exercícios…

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 106-04

Duas moedas são lançadas. Dê o espaço amostral para esse experimento. Represente esse espaço amostral como o produto cartesiano de dois outros espaços amostrais.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Quando lançamos uma moeda temos duas possibilidades: cara (K) ou coroa (C).

Se lançarmos duas moedas, poderemos ter as seguintes combinações:

Ω = K , K , K , C , C , K , C , C

Passo 2

Representando em um plano cartesiano, como produto de dois outros espaços amostrais (os espaços amostrais de cada moeda):

Resposta

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração própria

Considere o experimento aleatório do lançamento de um dado. Crie três possíveis eventos diferentes para esse experimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vaamos lá! Cara, ele diz que nosso experimento aleatório é o lançamento de um dado. Ou seja, sabemos que nosso espaço amostral é o seguinte:

Ω = { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

Dito isso, ele pede pra gente criar três eventos diferentes pra esse experimento.

Bom, temos bastante liberdade aqui, então vamos pensar em um primeiro evento A .

A : s a i r   u m   n ú m e r o   p a r

Olhando pros nossos possíveis resultados (espaço amostral), basta pegarmos os possíveis números pares que podem sair.

Logo:

A = { 2,4 , 6 }

Passo 2

Cara, já pensamos na saída dos números pares, vamos criar um evento dos eventos ímpares então!

B : s a i r   u m   n ú m e r o   í m p a r

Olhando novamento pro nosso espaço amostral, temos que pegar os números ímpares que podem sair.

B = { 1,3 , 5 }

Passo 3

Por último, vamos tentar ser mais criativos?! Que tal o seguinte evento:

C : s a i r   u m   n ú m e r o   p r i m o

Vamos lá, seguindo a mesma rotina, vamos buscar quais são os possíveis números primos que podem sair:

C = { 2,3 , 5 }

Resposta

A : s a i r   u m   n ú m e r o   p a r

B : s a i r   u m   n ú m e r o   í m p a r

C : s a i r   u m   n ú m e r o   p r i m o

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 105-02

Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis resultados desse experimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Um dado possui seis faces numeradas de 1 a 6.

O enunciado fala que iremos lançar um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez, ou seja, para nós nessa questão só existem dois tipo de face:

- Igual a 5   Vamos chamar de evento I

- Diferente de 5: {1,2,3,4,6} Vamos chamar de evento D

Nossa possíveis resultados serão:

a) Na primeira vez que eu jogar sair 5. ( I )

b) Na primeira vez que eu jogar sair uma face qualquer diferente de 5 e na segunda vez sair uma face 5 ( D I )

c) Na primeira e segunda vez que eu jogar sair uma face qualquer diferente de 5 e na terceira vez sair uma face 5 ( D D I )

A partir daí notamos que os resultados são infinitos, pois só pararei de jogar o dado quando a face 5 aparecer. Podemos escrever então desta forma:

{(I); (DI); (DDI); (DDDI); ...(D...DI)}

Resposta

{(I); (DI); (DDI); (DDDI); ...(D...DI)}

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 105-01

Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra. Dê um espaço amostral para o experimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nós temos uma urna com:

- Duas bolas brancas (B) e

- Três bolas vermelhas (V).

A primeira retirada pode ser qualquer cor, contudo dependendo da cor da primeira bola iremos realizar ações diferentes:

(i) Se for branca lançaremos uma moeda

(ii) Se for vermelha retiraremos outra.

Iremos olhar o espaço amostral de cada caso separadamente e depois fazer a união deles.

Passo 2

Vamos olhar para o caso (i), ou seja, a primeira bola retirada é branca.

Neste caso iremos lançar uma moeda, que poderá cair como cara (K) ou coroa (C).

O espaço amostral para esse caso será: {(BK), (BC)}

Passo 3

Agora olhando para o caso (ii), ou seja, a primeira bola é vermelha.

Neste caso iremos retirar outra bola da urna, podendo ser branca ou vermelha.

O espaço amostral para esse caso será: {(VB), (VV)}

Resposta

{(BK),(BC),(VB),(VV)}

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração Própria

Uma urna contém 3 bolas, uma amarela, uma vermelha e uma azul. São sorteadas duas bolas com reposição (ou seja, a primeira bola retirada é recolocada na urna antes de retirar-se a segunda bola). Quantos elementos existem no espaço amostral desse sorteio?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O espaço amostral são quantas combinações possíveis de 2 bolas podemos fazer nesse sorteio, certo? Vamos listá-las então.Vamos denotar:

A M : a m a r e l a

V : v e r m e l h a

A Z : a z u l

Vamos também listar nosso sorteio com a primeira bola e a segunda bola sorteada separadas por vírgulas. Sabendo disso, podemos tirar:

A M , A M

A M , V

A M , A Z

V , A M

V , V

V , A Z

A Z , A M

A Z , V

A Z , A Z

Então essas combinações aí são nosso espaço amostral, ou seja:

Ω = { ( A M , A M ) ; ( A M , V ) ; ( A M , A Z ) ; ( V , A M ) ; ( V , V ) ; ( V , A Z ) ; ( A Z , A M ) ; ( A Z , V ) ; ( A Z , A Z ) }

Lembrando que podemos tirar duas amarelas, duas vemelhas ou duas azuis porque temos reposição da primeira bola do sorteio!

Passo 2

Contando todos os elementos desse espaço amostral definido por nós, podemos afirmar que:

# Ω = 9   e l e m e n t o s

Resposta

9 elementos

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