Enunciado

10-6. Estão sendo estudadas as taxas de queima de dois diferentes propelentes solidos usados n sistema de escapamento de aeronaves. Sabe-se que amplos os propelentes tém aproximadamente o mesmo desvio-padrão de taxa de queima: ou seja, centímetros por segundo, Duas amostras aleatórias de z, testadas: as taxas medias de queima das amostras são, 18 centimetros por segundlo

(a) Teste a hipótese de que ambos os propclentes tém a mesma taxa média de queima. Usc a- 0.05. Qual é o valor P

(b)Construa um intervalo de confiança de 959 para a diferença de médias p,

(c) Qual é o erro B do teste no item ta) se a diferença verdadeira na taxa média de queima for 2.5 centímetros por segundo?

(d) Supondo tamanhos iguais de amostra. que tamanho de amostra é necessário para obter uma potência de 0,9 se a diferença verdadeira de médias for de 14 espécimes sào 24 centímetros por segundo. Qual é o significado prático desse intervalo?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 ≠ μ 2 σ 1 = 3 σ 2 = 3 n 1 = 20 n 2 = 20 x - 1 = 18 x - 2 = 24 α = 0.05

Letra a:

Determine o valor da estatística de teste:

z = x - 1 - x - 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 18 - 24 3 2 20 + 3 2 20 ≈ - 6.32

O valor P é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual à estatística de teste padronizada z. Determine a probabilidade usando a tabela III.

P = P ( Z < - 6.32  or  Z > 6.32 ) = 2 P ( Z < - 6.32 ) ≈ 2 ( 0 ) = 0

Se o valor P for menor que o nível de significância α ,   então a hipótese nula é rejeitada.

P < 0.05 ⇒  Rejeita   H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as médias da população não são iguais.

Passo 2

Letra b:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 18 - 24 ) - 1.96 ⋅ 3 2 20 + 3 2 20 ≈ - 7.8594 x - 1 - x - 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 18 - 24 ) + 1.96 ⋅ 3 2 20 + 3 2 20 ≈ - 4.1406

Passo 3

Letra c:

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor z correspondente a uma probabilidade de α = 2.5 % = 0.025 :

z = ± 1.96

A diferença média da amostra correspondente é a diferença média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 x - = 0 - 1.96 3 2 20 + 3 2 20 ≈ - 1.8594 x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 x - = 0 + 1.96 3 2 20 + 3 2 20 ≈ 1.8594

O valor z é a diferença média da amostra diminuída pela diferença média da população (diferença da média alternativa!) dividido pelo desvio padrão

z = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = - 1.8594 - 2.5 3 2 20 + 3 2 20 ≈ - 4.60 z = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 1.8594 - 2.5 3 2 20 + 3 2 20 ≈ - 0.68

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela III:

P = P Z < - 4.60  or  Z > - 0.68 = P Z < - 4.60 + P Z > - 0.68 = P Z < - 4.60 + P Z < 0.68 = 0 + 0.751748 = 0.751748

Passo 4

Letra d:

P o t ê n c i a = 0.9

A probabilidade β   de um erro tipo II é diminuída pela potência:

β = 1 - P o t ê n c i a = 1 - 0.9 = 0.1

Fórmula do tamanho da amostra:

n = z α / 2 + z β 2 σ 1 2 + σ 2 2 Δ - Δ 0 2

Δ 0 é a hipótese nula μ 1 - μ 2 = Δ 0

Δ é a hipótese alternativa μ 1 - μ 2 = Δ .

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Determine z β = z 0.1 usando a tabela III (procure 0.1 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.28

Preencha os valores conhecidos na fórmula e avalie:

n 1 = n 2 = ( 1.96 + 1.28 ) 2 3 2 + 3 2 ( 14 - 0 ) 2 = 1

Resposta

  1. P ≈ 0 . Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as médias da população não são iguais.
  2. - 7.8594 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ - 4.1406
  3. P o t ê n c i a   = 0.751748
  4. n 1 = n 2 = 1
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