Enunciado

10-3. Considere o teste de hipóteses . u,com variâncias conhecidas o 10 e o= 5. Suponha que os tamanhos de amostra sejam

(a) Teste a hipótese e encontre o valor P.

(b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

(c) Qual será a potência do teste no item (a) se p, for 2 unidades maior.

(d) Considerando tamanhos iguais de amostras, que tamanho de amostra deveria ser usado para obter se p, fosse 2 unidades maior que u.? Suponha a 0.05

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 > μ 2 σ 1 = 10 σ 2 = 5 n 1 = 10 n 2 = 15 x - 1 = 24.5 x - 2 = 21.3 α = 0.01

Letra a:

Determine o valor da estatística de teste:

z = x - 1 - x - 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 24.5 - 21.3 10 2 10 + 5 2 15 ≈ 0.94

O valor P é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual à estatística de teste padronizada z. Determine a probabilidade usando a tabela III.

P = P ( Z > 0.94 ) = P ( Z < - 0.94 ) = 0.173609

Se o valor P for menor que o nível de significância α ,   então a hipótese nula é rejeitada.

P > 0.05 ⇒  Falha em rejeitar  H 0

Não há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as médias da população não são iguais.

Passo 2

Letra b:

Se um intervalo de confiança de 99 % ( 1 - α ) para a média não contém 0, então rejeitamos a hipótese nula de médias iguais.

Se um intervalo de confiança de 99 % ( 1 - α ) para a média contém 0, então não rejeitamos a hipótese nula de médias iguais.

Para o nível de confiança 1 - α = 0.99 , determine z α = z 0.01 usando a tabela III (procure 0.01 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 2.33

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 24.5 - 21.3 ) - 2.33 ⋅ 10 2 10 + 5 2 15 ≈ - 4.7585 x - 1 - x - 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 24.5 - 21.3 ) + 2.33 ⋅ 10 2 10 + 5 2 15 ≈ 11.1585

O intervalo de confiança não contém 0 e, portanto, as médias parecem ser iguais.

Passo 3

Letra c:

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor z correspondente a uma probabilidade de 1 - α = 1 - 0.01 = 0.99 :

z = 2.33

A diferença média da amostra correspondente é a diferença média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 x - = 0 + 2.33 10 2 10 + 5 2 15 ≈ 7.9585

O valor z é a diferença média da amostra diminuída pela diferença média da população (diferença da média alternativa!) dividido pelo desvio padrão:

z = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 7.9585 - 2 10 2 10 + 5 2 15 ≈ 1.74

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela III.

P = P ( Z > 1.74 ) = P ( Z < - 1.74 ) = 0.040929

Passo 4

Letra d:

α = 0.05 β = 0.05

Fórmula do tamanho da amostra:

n = z α + z β 2 σ 1 2 + σ 2 2 Δ - Δ 0 2

Δ 0 é a hipótese nula μ 1 - μ 2 = Δ 0

Δ é a hipótese alternativa μ 1 - μ 2 = Δ .

Determine z α = z 0.05 usando a tabela III (procure 0.05 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.64

Determine z β = z 0.05 usando a tabela III (procure 0.05 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.64

Preencha os valores conhecidos na fórmula e avalie:

n 1 = n 2 = ( 1.64 + 1.64 ) 2 10 2 + 5 2 ( 2 - 0 ) 2 = 337

Resposta

  1. P = 0.173609 . Não há evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a primeira média da população é maior do que a segunda média da população.
  2. - 4.7585 ≤ μ ≤ 11.1585
  3. P o t ê n c i a   = 0.040929
  4. n 1 = n 2 = 337
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