Enunciado

10-71. Duas miquinas são usadas para encher garralas de plástico com

detergente para lavagem de pratos. O- desvio-padrão do volume de en-

chimento são conheeidos como d, - 0.10 onca tluida e ir. =0.15 onca

Iluida para as duas máquinas, respectivamente. Duas amostras aleatórias

de n, - 12 garrafas da maquina 1 e n. - 10 garrafas da máquina 2 são

selecionklas. Os voluimes médios de enchimento nas amostras são.x.

30.87 onças fluidas e x. - 30,68 onças tluidas. Suponha normalidade.

a) C'onstrua um intervalo bilateral de contianca de 90'7 para a diferenca

entre as medias do volume de enchimento. Interprete esse intervalo.

b) Construa um intervalo bilateral de contianca de 9554 para a diferen-

ca entre as médias do volume de enchimento. Compare e comenie a

largura desse intervalo em relação à largura do intervalo do item ía).

c)Construa um intervalo unilateral superior de contiança de 9597 para

a diferencaentre as medias do volume de enchimento. Interprete esse

intervalo.

d) Teste a hipótese de que ambas as máquinas enchem o mesmo volu-

me medio. Use a = 0.05. Qual e valor P'

e) Se o erro B do teste não deve exeeder 0.1 quando a diferenca verda-

deira no volume de enchimento for 0,2 onça fluida , que tamanhos

das amostras têm de ser usados? Use

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 = 12 n 2 = 10 x - 1 = 30.87 x - 2 = 30.68 σ 1 = 0.10 σ 2 = 0.15

Letra a:

c = 90 % = 0.90

Para o nível de confiança 1 - α = 0.90 , determine z α / 2 = z 0.05 usando a tabela III (procure 0.05 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.64

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 30.87 - 30.68 ) - 1.64 ⋅ 0.10 2 12 + 0.15 2 10 ≈ 0.0989 x - 1 - x - 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 30.87 - 30.68 ) + 1.64 ⋅ 0.10 2 12 + 0.15 2 10 ≈ 0.2811

Estamos 90% confiantes de que a verdadeira diferença média no volume de enchimento está entre 0.0989 onças fluidas e 0.2811 onças fluidas.

Passo 2

Letra b:

c = 95 % = 0.95

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - z α 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 30.87 - 30.68 ) - 1.96 ⋅ 0.10 2 12 + 0.15 2 10 ≈ 0.0812 x - 1 - x - 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 30.87 - 30.68 ) + 1.96 ⋅ 0.10 2 12 + 0.15 2 10 ≈ 0.2988

O intervalo de confiança é mais amplo do que o intervalo de confiança na parte (a), isso se deve ao maior nível de confiança.

Passo 3

Letra c:

c = 95 % = 0.90

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z 0 = 1.64

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 + z α / 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 30.87 - 30.68 ) + 1.64 ⋅ 0.10 2 12 + 0.15 2 10 ≈ 0.2811

Temos 95% de confiança de que a diferença média no volume de enchimento é menor ou igual a 0.2811 onças fluidas.

Passo 4

Letra d:

α = 0.05

Determine as hipóteses:

H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2

Determine o valor da estatística de teste:

z = x - 1 - x - 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 30.87 - 30.68 0.10 2 12 + 0.15 2 10 ≈ 3.422

O valor P é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual à estatística de teste padronizada z . Determine a probabilidade usando a tabela III.

P = P ( Z < - 3.42  ou   Z > 3.42 ) = 2 P ( Z < - 3.42 ) = 2 ( 0.000313 ) = 0.000626

Se o valor P for menor do que o nível de significância α , a hipótese nula é rejeitada.

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.

Passo 5

Letra e:

Δ = 0.2 β = 0.1 α = 0.05

Fórmula do tamanho da amostra:

n = z α / 2 + z β 2 σ 1 2 + σ 2 2 Δ - Δ 0 2

Δ 0 é a hipótese nula μ 1 - μ 2 = Δ 0

Δ é a hipótese alternativa μ 1 - μ 2 = Δ

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Determine z β = z 0.1 usando a tabela III (procure 0.01 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z β = 1.28

Preencha os valores conhecidos na fórmula e avalie (arredondar para cima):

n 1 = n 2 = ( 1.96 + 1.28 ) 2 0.10 2 + 0.15 2 ( 0.2 - 0 ) 2 = 9

Resposta

  1. 0.0989 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ 0.2811
  2. 0.0812 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ 0.2988
  3. μ 1 - μ 2 ≤ 0.2811
  4. P = 0.000626 . Há evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.
  5. n 1 = n 2 = 9
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