Enunciado

10-80. Três diferentes pesticidas podem ser usados para controlar a

infestação em videiras. Suspeita-se que o pesticida 3 seja mais efe-

tivo do quc os outros dois. Em uma vinícola particular, trés planta-

ções diferentes de uvas Pinot Noir são selecionadas para estudo. Os

seguintes resultados para o rendimento são obtidos:

Se , for o rendimento médio verdadeiro depois do tratamento com

o i-ésimo pesticida, estaremos interessados na grandeza

que mede a diferença nos rendimentos médios entre os pesticidas 1

e 2 e o pesticida 3. Se os tamanhos das amostras n, forem grandes, o

estimador (por exemplo. ) obtido trocando-se cada , individual

por X. é aproximadamente normal.

a) Encontre, para . um intervalo de confiança aproximado de

para uma amostra grande.

b) Esses dados confirmam a afirmação de que o pesticida 3 é mais

efetivo do que os outros dois? Use na determinação de

sua resposta.

Passo 1

A quantidade em que você está interessado é:

μ = 1 2 μ 1 + μ 2 - μ 3

Letra a:

Podemos estimar essa quantidade substituindo as médias populacionais μ i pela média da amostra x i _ :

x - = 1 2 x - 1 + x - 2 - x - 3

O valor esperado da estimativa x _ é então (usando que o valor esperado da média da amostra é a média da população):

μ T - = E ( x - ) = E 1 2 x - 1 + x - 2 - x - 3 = 1 2 E x - 1 + E x - 2 - E x - 3 = 1 2 μ 1 + μ 2 - μ 3

O desvio padrão da média da amostra é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Usando propriedades da variância, então obtemos:

σ x - = 1 2 σ 1 n 1 2 + 1 2 σ 2 n 2 2 + - 1 σ 3 n 3 2 = 1 4 σ 1 2 n 1 + 1 4 σ 2 2 n 2 + σ 3 2 n 3

Podemos então estimar o desvio padrão da média da amostra, substituindo os desvios padrão da população pelos desvios padrão da amostra

σ x - ≈ 1 4 s 1 2 n 1 + 1 4 s 2 2 n 2 + s 3 2 n 3

Nota: Se você estimar o desvio padrão da população, então, precisamos usar a distribuição t-Student em vez da distribuição normal padrão.

Para simplificar, vamos deixar que os graus de liberdade sejam o menor tamanho de amostra diminuído em 1.

d f = m i n n 1 - 1 , n 2 - 1 , n 3 - 1

O intervalo de confiança de amostra grande de 100 ( 1 - x ) % para μ   é então a estimativa diminuída / aumentada pelo produto do valor crítico da distribuição t-Student e a estimativa do desvio padrão da estimativa:

x - ± t x / 2 σ x - ≈ 1 2 x - 1 + x - 2 - x - 3 ± t x / 2 1 4 s 1 2 n 1 + 1 4 s 2 2 n 2 + s 3 2 n 3

Passo 2

Letra b:

Determine as hipóteses:

H 0 : μ = 1 2 μ 1 + μ 2 - μ 3 = 0 H 1 : μ = 1 2 μ 1 + μ 2 - μ 3 < 0

(porque se o pesticida 3 é mais eficaz, então esperamos que sua média seja maior do que a média das outras duas).

Determine a estatística de teste:

t = x - - μ x - σ x - = 1 2 x - 1 + x - 2 - x - 3 - 0 1 4 s 1 2 n 1 + 1 4 s 2 2 n 2 + s 3 2 n 3 = 1 2 ( 4.6 + 5.2 ) - 6.1 - 0 1 4 0.7 2 100 + 1 4 0.6 2 120 + 0.8 2 130 ≈ - 14.4483

Determine os graus de liberdade (arredondados para o número inteiro mais próximo):

d f = m i n n 1 - 1 , n 2 - 1 , n 3 - 1 = m i n ( 100 - 1,120 - 1,130 - 1 ) = 99 > 60

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste, ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela V contendo o valor t na linha d f = 60 :

P < 0.005

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, então a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que o pesticida 3 é mais eficaz do que os outros dois.

Resposta

  1. 1 2 x - 1 + x - 2 - x - 3 ± t x / 2 1 4 s 1 2 n 1 + 1 4 s 2 2 n 2 + s 3 2 n 3
  2. Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que o pesticida 3 é mais eficaz do que os outros dois.
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