Enunciado

10-75. Umestudo sobre economia de comhustivel foi conduzido em dois

automoveis alemāes. Mercedes e Volkswagen. Um veiculo de cada

marca foi selecionado, registrando-se a quantidade de milhas percorri

das com 10 tanques de combustível em cada carro. Esses dados (em

milhas por galao) sào mostrados a seguir:

a) Construa um gráfico de probabilidade normal para cada um dos con-

juntos de dados. Bascado nesses gráficos. é razoável considerar que

eles sejam retirados de uma população normal?

b) Suponha ter silodeterminado uue o menor valor observado dos dados

do Mereedes foi registrado erroneamente, sendo o valor corrcto ieual

a 24.6. Além disso. a menor valor observado dos dados do Volkswa-

gen foi também registrado erroneamente. sendo o valor correto igual

a 39.6. C'onsirua novamente gráficos de probabilidade normal para

cada um dos comjunlos de dados com os valores eorretos. Baseado

nesses novos gráficos. é razoável considerar que eles sejam retira.

dos de uma populacao normal?

c) Compare suas respostas dos itens (a) etb) e comente o efeito dessas

observaçues erradas na suposicão de normalidade.

d) Usando os dados eorretos do item (b) c um intervalo de contianca

. há evidencia quc contirme a afirmacão de quc a variabili-

dade no consumo de comhustível por milha seja maior para Volkswa.

gen do que para Mercedes?

e)Relaça o item íd) deste problema, usando um procedimento alequado

de teste de hipóteses. Voce obteve a mesma resposta que obteve

originalmente? Por que?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 =   T a m a n h o   d a   a m o s t r a   = 10 n 2 =   T a m a n h o   d a   a m o s t r a = 10

Letra a:

Gráfico da probabilidade normal:

Os valores dos dados estão no eixo horizontal e as pontuações normais padronizadas estão no eixo vertical.

Se os dados contiverem n valores de dados, então as pontuações normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondendo a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) com j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde à menor quantidade de dados, a segunda menor pontuação padronizada corresponde ao segundo menor valor de dados e assim por diante.

Passo 2

Amostra 1:

Amostra 2:

A suposição normal parece não estar satisfeita, porque o padrão em ambos os gráficos de probabilidade normal é fortemente curvo, o que indica distribuição não normal.

Passo 3

Letra b:

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores:

x - 1 = 24.7 + 24.9 + 24.8 + … + 24.9 + 24.5 + 24.8 10 ≈ 24.74 x - 2 = 41.7 + 42.8 + 42.3 + … + 40.8 + 41.9 + 39.6 10 ≈ 41.25

A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividida por n - 1 . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

s 1 = ( 24.7 - 24.74 ) 2 + … + ( 24.8 - 24.74 ) 2 10 - 1 ≈ 0.143 s 2 = ( 41.7 - 41.25 ) 2 + … + ( 39.6 - 41.25 ) 2 10 - 1 ≈ 1.2195

Passo 4

Gráfico da probabilidade normal:

Os valores dos dados estão no eixo horizontal e as pontuações normais padronizadas estão no eixo vertical.

Se os dados contiverem n valores de dados, então as pontuações normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondendo a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) com j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde à menor quantidade de dados, a segunda menor pontuação padronizada corresponde ao segundo menor valor de dados e assim por diante.

Amostra 1:

Amostra 2:

A associação normal parece satisfeita, porque o padrão em ambos os gráficos de probabilidade normal é aproximadamente normal, o que indica que as distribuições são distribuídas aproximadamente normalmente

Passo 5

Letra c:

Os valores errados mudaram tanto a distribuição dos valores dos dados que a distribuição não parecia mais ser distribuída normalmente.

Passo 6

Letra d:

Determine os valores críticos usando a quarta tabela na tabela VI com d f n = 10 - 1 = 9 e d f d = 10 - 1 = 9 :

F 0.025 = 4.03 F 1 - 0.025 = F 0.975 = 1 4.03 ≈ 0.2481

Os limites do intervalo de confiança são então:

F α 2 ⋅ s 1 2 s 2 2 = 4.03 ⋅ 0.143 2 1.2195 2 ≈ 0.0554 F α / 2 ⋅ s 1 2 s 2 2 = 0.2481 ⋅ 0.143 2 1.2195 2 ≈ 0.0034

Uma vez que o intervalo de confiança não contém 1, a variabilidade não parece ser a mesma em ambas as amostras e, portanto, há evidências suficientes para apoiar a alegação de variabilidade diferente.

Passo 7

Letra e:

Determine as hipóteses:

H 0 : σ 1 = σ 2 H a : σ 1 ≠ σ 2

Calcule o valor da estatística de teste:

F = s 1 2 s 2 2 = 0.143 2 1.2195 2 ≈ 0.014

O valor crítico é dado na quarta tabela da tabela VI na linha com d f d = n 1 - 1 = 10 - 1 = 9 e na coluna com d f n = n 1 - 1 = 10 - 1 = 9 :

F 0.025 = 4.03 F 1 - 0.025 = F 0.975 = 1 4.03 ≈ 0.2481

A região de rejeição contém todos os valores menores que 0.2481 e todos os valores maiores que 4.03.

Se o valor da estatística de teste estiver na região de rejeição, então rejeite a hipótese nula:

0.014 < 0.2481 ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de variabilidade diferente. Obtemos a mesma conclusão porque o teste de significância e o intervalo de confiança descrevem os mesmos dados usando as mesmas estatísticas e distribuições de teste.

Resposta

  1. Não
  2. Premissas satisfeitas
  3. Os valores errados mudaram tanto a distribuição dos valores dos dados que a distribuição não parecia mais ser distribuída normalmente.
  4. 0.0034 ≤ σ 1 2 σ 2 2 ≤ 0.0554 . Há evidências suficientes para apoiar a alegação de variabilidade diferente.
  5. Há evidências suficientes para apoiar a alegação de variabilidade diferente. Obtemos a mesma conclusão porque o teste de significância e o intervalo de confiança descrevem os mesmos dados usando as mesmas estatísticas e distribuições de teste.
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