Enunciado

11-65. Suponha que dados sejam obtidos a partir de 20 pares de (xv)e

que o coeficiente de correlação para a amostra seja 0,75.

a) Teste a hipótese de que iH: p = O contra 11 :p0.com a = 0.05?

Caleule o valor P.

b)Teste a hipótese de que H: p=0.5 contra p0.5.com u =

0.05? Calcule o valor P.

c) Consirua um intervalo bilateral de confiança de 959r para o coefici-

ente de correlação. Explique como as questoes nos itens (a) e (b)

poderiam ser responklidas com um intervalo de confiança.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Dados:

n = 20 r = 0.75

Letra a:

H 0 : ρ = 0   ( N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r )

H 1 : ρ > 0  (Existe uma correlação linear positiva)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.75 - 0 1 - 0.75 2 20 - 2 ≈ 4.811

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 20 - 2 = 18 :

P < 0.0005

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que existe uma correlação linear positiva.

Passo 2

Letra b:

H 0 : ρ = 0.5 H 1 : ρ > 0.5

Vamos determinar o valor z que corresponde a uma probabilidade de 0.05 na tabela de probabilidade normal do apêndice, enquanto z α é este índice z com um sinal oposto.

z α = 1.645

O resultado da estatística de teste é:

Z 0 = arctanh ⁡ R - arctanh ⁡ ρ 0 ( n - 3 ) 1 2 = ( a r c t a n h ⁡ 0.75 - a r c t a n h ⁡ 0.5 ) ( 20 - 3 ) 1 2 ≈ 1.74675

Se Z 0 for maior do que o valor crítico z α , vamos rejeitar a hipótese nula:

1.74675 > 1.645 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a correlação é superior a 0.5.

Passo 3

O valor da estatística de teste é:

Z 0 = arctanh ⁡ R - arctanh ⁡ ρ 0 ( n - 3 ) 1 2 = ( a r c t a n h ⁡ 0.75 - a r c t a n h ⁡ 0.5 ) ( 20 - 3 ) 1 2 ≈ 1.74675

Se Z 0   for maior do que o valor crítico   z α , rejeite a hipótese nula:

1.74675 > 1.645 ⇒  Rejeita   H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a correlação é superior a 0.5.

Passo 4

Letra c:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

  z α 2 = 1.96

Os limites do intervalo de confiança para o coeficiente de correlação são então:

  t a n h    arctanh  r - z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.75 - 1.96 20 - 3 ≈ 0.4602   t a n h    arctanh  r + z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.75 + 1.96 20 - 3 ≈ 0.8954

Resposta

  1. Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que existe uma correlação linear positiva.
  2. Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a correlação é superior a 0.5.
  3. 0.4602 ≤ ρ ≤ 0.8954
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