Enunciado

11-86. Dois diferentes métodos podem ser usados para medir a tem-

peratura da solução cm uma célula de Ilall usada na fusão de alumí-

nio: uin lerinopar implantado na célula e uma mediçào indireta pro-

duzida em um dispositivo de IV. O método indireto é preferivel devi

do à desiruição dos termopares pela solução. Considere as 10 medidas

seguintes:

a) Construa um diagrama de dispersão para esses dados, sendo x

medida do termopar e y = medida do IV.

b) Ajuste um modelo de regressào linear simpies a esses dados.

c) Teste a significância da regressão e calcule R'. Que conclusòes vocé

pode tirar?

d) Há evidéncia para sustentar a afirmação de que ambos os dispositi

vus produzem medidas cquivalentes de temperatura? Formule e tes-

te uma hipólese aprupriada para sustentar essa afirmação.

e) Analise os resíduos e comente a adequação do modelo.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Letra a:

Depois de processar os dados, chegamos ao seguinte gráfico de dispersão:

Passo 2

Letra b:

Primeiro, vamos calcular as quantidades importantes (nota que n = 10 ) .

x - = 929.3 y - = 930.1 S x x = ∑ k = 1 n   x k - x - 2 = 676.1 S x y = ∑ k = 1 n   x k - x - y k - y - = 628.7

Agora estamos prontos para determinar os coeficientes do modelo:

β ^ 1 = S x y S x x = 628.7 676.1 = 0.9299 β ^ 0 = y - - β ^ 1 x - = 65.9513

Portanto, o melhor ajuste linear para os dados é:

y = 65.9513 + 0.9299 x

Passo 3

Letra c:

Precisamos testar a significância da regressão. Neste exercício, vamos optar pela abordagem de análise de variância para este problema.

Primeiro, avalie a regressão e a soma dos quadrados dos erros:

S S R = ∑ k = 1 n   y ^ k - y - 2 = 584.6231 S S E = ∑ k = 1 n   y ^ k - y k 2 = 236.2769

para calcular o valor da estatística F:

F = S S R S S E n - 2 = 584.6231 236.2769 8 = 19.79

Rejeitamos H 0  se  F > F a , 1 , n - 2 ,   então primeiro, vamos determinar:

F 0.05,1 , 8 = 5.317655

e concluímos que rejeitamos H 0  de   β 1 = 0  com   α = 0.05 . Portanto, o modelo é significativo. Calcule o coeficiente de determinação:

R 2 = 0.7122

Nomeadamente, cerca de 71% da variabilidade é explicada pelo modelo, que é substancial.

Passo 4

Letra d:

O termo de interceptação no modelo não é significativo , ou seja, não há evidências para apoiar, β 0 ≠ 0 (a estimativa é grande, mas o erro padrão é enorme, verifique)

Portanto, podemos dizer que o modelo é:

y = β 1 x

com a estimativa da inclinação sendo

β ^ 1 = 0.9299

É razoável testar a seguinte hipótese:

H 0 : β 1 = 1

com relação à alternativa bilateral. Vamos fazer isso.

A estatística de teste é a seguinte:

T = β ^ 1 - 1 se ⁡ β 1 = 0.9299 - 1 0.2090 = - 0.335

Calcule o valor t, para este teste (alternativa bilateral, α = 0.05 )

t α 2 , n - 2 = t 0.025,8 = 2.306004

portanto, por causa de | T | < t α / 2 , n - 2 , não podemos rejeitar a hipótese nula de β 1 = 1 .

Finalmente, podemos realmente dizer que há evidências para apoiar o modelo:

y = x

ou seja, há evidências para apoiar que ambos os dispositivos produzem medições de temperatura equivalentes.

Passo 5

Letra e:

Plote os resíduos do modelo em relação aos valores ajustados para a resposta e examine o gráfico.

Concluímos que a variância não é a mesma em todo o intervalo dos dados, porque os resíduos são muito menores para os maiores valores ajustados.

Portanto, o modelo não é totalmente adequado.

Resposta

  1. Ver resolução
  2. y = 65.9513 + 0.9299 x
  3. F = 19.79 ,  rejeita   H 0 , o modelo é significativo.     R 2 = 0.7122
  4. Sim. Teste β 1 = 1   em relação à alternativa bilateral e observe que o termo de interceptação não é significativo.
  5. Ver resolução
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