Enunciado

11-76. A pressao do vapor d'água em vánias temperaturas é dada a seguir:

a) Desenhe um diagrama de dispersão desses dados. Que tipo de rela-

cão parece apropriada relacionando y com .r?

b) Ajusle um modelo de regressao linear a esses dados.

c) Teste a significância da regressão usando a =0.05. Que conclusoes

voce pode tirar?

d) Faça um gráfico dos residuos do modelo de regressão versus y. O

que vocé conelui acerea da adequacao do modelo!

e) A relação de Clausius-Clapeyron estabelece que IniP.) x-y,em

que P.é a pressão do vapor d'água. Repita os itens (a)-(d).usando

uma transformação apropriada.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Letra a:

Denotemos a variável de temperatura em Kelvins com a letra x, e a variável aleatória de pressão de vapor em mmHg com a letra y. Então, depois do processamento dos dados fornecidos na tabela, chegamos ao seguinte gráfico de dispersão dos dados:

É evidente a partir deste gráfico que a variável y é exponencialmente dependente da variável x. Ou seja, a pressão de vapor aumenta exponencialmente com o aumento da temperatura.

Passo 2

Letra b:

Agora ajustamos o modelo linear aos dados. Primeiro, vamos calcular as quantidades importantes (nota   n = 11 ) :

x - = 323 y - = 203.1727 S x x = ∑ k = 1 n   x k - x - 2 = 11000 S x y = ∑ k = 1 n   x k - x - y k - y - = 73541

Agora estamos prontos para determinar os coeficientes do modelo:

β ^ 1 = S x y S x x = 73541 11000 = 6.685545 β ^ 0 = y - - β ^ 1 x - = 203.1727 - 6.685545 × 323 = - 1956.258

Portanto, o melhor ajuste linear para os dados é:

y = - 1956.258 + 6.685545 x

Passo 3

Letra c:

Precisamos testar a significância da regressão. Neste exercício, vamos optar pela abordagem de análise de variância para este problema. Primeiro, vamos avaliar a regressão e a soma dos quadrados dos erros:

S S R = ∑ k = 1 n   y ^ k - y - 2 = 491661.7 S S E = ∑ k = 1 n   y ^ k - y k 2 = 124402.9

para calcular o valor da estatística F:

F = S S R S S E n - 2 = 491661.7 124402.9 9 = 35.56955

Rejeitamos H 0  se   F > F α , 1 , n - 2 então primeiro determine:

F α , 1 , n - 2 = 5.117355

e então rejeitamos H 0  de  β 1 = 0  com  α = 0.05

Passo 4

Letra d:

Na foto acima, os resíduos são representados graficamente em relação aos valores ajustados do modelo. Este gráfico sugere que o modelo não é adequado. Um forte padrão curvo é observado, e os resíduos definitivamente não variam aleatoriamente com respeito a qualquer eixo.

Passo 5

Letra e:

Aplique as transformações fornecidas para obter novas variáveis ​​   x '  e    y '   da seguinte forma:

x ' = - 1 x y ' = l n ⁡ y

Agora repita a análise em ordem.

Primeiro, vamos calcular as quantidades importantes (nota n = 11 ):

x - ' = - 0.003126167 y - ' = 4.348928 S x ' x ' = ∑ k = 1 n   x k ' - x - ' 2 = 1.054093 × 10 - 6 S x ' y ' = ∑ k = 1 n   x k ' - x - ' y k ' - y ' ¯ = 0.005482089

Agora estamos prontos para determinar os coeficientes do modelo:

β ^ 1 = S x ' y ' S x ' x ' = 0.005482089 1.054093 × 10 - 6 = 5200.762 β ^ 0 = y ' ¯ - β ^ 1 x - ' = 4.348928 - 5200.762 × ( - 0.003126167 ) = 20.6

Portanto, o melhor ajuste linear para os dados é:

y ' = 20.6 + 5200.76 x '

Passo 6

Agora precisamos testar a significância da regressão. Neste exercício, optaremos pela abordagem de análise de variância para este problema. Primeiro, vamos avaliar a regressão e a soma dos quadrados dos erros:

S S R = ∑ k = 1 n   y ' ^ k - y - ' 2 = 28.51104 S S E = ∑ k = 1 n   y ' ^ k - y k ' 2 = 0.003846175

para calcular o valor da estatística F:

F = S S R S S E n - 2 = 28.51104 0.003846175 9 = 66715.47

Obviamente, rejeitamos H 0  de  β 1 = 0  com  α = 0.05

Resposta

  1. Ver resolução
  2. y = - 1956.258 + 6.685545 x
  3. F = 35.56955 ,  rejeita  H 0
  4. N ã o   é   a d e q u a d o
  5. y ' = 20.6 + 5200.76 x ' , F = 66715.47 ,  rejeita  H 0
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