Enunciado

11-98. Suponha que estejamos interessados em ajustar um modelo

de regressão linear simples em que a interseção, n,seja conhecida.

a) Encontre o estimador de mínimos quadrados para

b) Qual é a variância do estimador da inclinação no item (a)?

c)Encontre uma expressão para um intervalo de confiança de

100 (1 - a) para a inclinação . Esse intervalo é maior do que

o intervalo correspondente para o caso em que tanto a interseção

como a inclinação sejam desconhecidas? Justifique sua resposta.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Suponha que um modelo de regressão linear simples Y = β 0 + β 1 x + ϵ   é dado, onde os erros não são correlacionados com média e variância zero σ 2 , mas em vez de   β 0  e  β 1 serem desconhecidos, assuma que β 0 seja desconhecido.

Letra a:

O estimador de mínimos quadrados do parâmetro desconhecido β 1 agora pode ser obtido resolvendo uma equação em vez de um sistema de equações lineares. Ele vem da soma dos erros quadrados

S S E = ∑ i = 1 n   y i - y ^ i 2 = ∑ i = 1 n   y i - β 0 - β ^ 1 x i 2

A derivada em relação a β ^ 1   é

d S S E d β ^ 1 = 2 ∑ i = 1 n   x i y i - β 0 - β ^ 1 x i

Definindo-o para zero, o estimador de β 1   pode ser obtido. Então

2 ∑ i = 1 n   x i y i - β 0 - β ^ 1 x i = 0 2 ∑ i = 1 n   x i y i - β 0 = β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 2

ou igualmente, o estimador de β 1   é dado por

β ^ 1 = ∑ i = 1 n   x i Y i - β 0 ∑ i = 1 n   x i 2

Observe que β 0 é conhecido aqui.

Passo 2

Letra b:

Uma variância de β ˙ 1   deve ser determinada. Para fazer isso, a suposição de independência de Y i , i = 1,2 , … , deve ser usada e o fato de que V Y i = σ 2 , i = 1,2 , … , n   devido à suposição de variância constante do erro. Temos:

V β ^ 1 = V ∑ i = 1 n   x i Y i - β 0 ∑ i = 1 n   x i 2 = 1 ∑ i = 1 n   x i 2 2 V ∑ i = 1 n   x i Y i - β 0 = 1 ∑ i = 1 n   x i 2 2 ∑ i = 1 n   x i 2 V Y i - β 0 = 1 ∑ i = 1 n   x i 2 2 ∑ i = 1 n   x i 2 V Y i = 1 ∑ i = 1 n   x i 2 2 ∑ i = 1 n   x i 2 σ 2 = σ 2 ∑ i = 1 n   x i 2

Passo 3

Letra c:

Para esta parte do exercício, um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para a inclinação, β 1   deve ser obtido. Considerando a suposição de normalidade, uma variável aleatória que pode ser usada para obter o intervalo de confiança é

T = β ^ 1 - β 1 β ^ 1 = β ^ 1 - β 1 s 1 ∑ i = 1 n   x i 2

tem uma distribuição t-Student com n - 1 graus de liberdade. Portanto, de

P T > t α 2 , n - 1 = 1 - α

O intervalo de confiança 100 1 - α % é

β ^ 1 - t α 2 , n - 1 s 1 ∑ i = 1 n   x i ≤ β 1 ≤ β ^ 1 + t α 2 , n - 1 s 1 ∑ i = 1 n   x i

facilmente obtidos a partir da probabilidade dada.

Aqui, s é uma estimativa de σ 2 .

Para comparar os intervalos de confiança, observe primeiro que

t α 2 , n - 1 < t α 2 , n - 2

Além disso, a variância do estimador β ^ 1   quando β 0   é desconhecido é maior do que quando β 0   é conhecido. Desses dois, quando β 0   não é um valor desconhecido, o intervalo de confiança é mais estreito do que é fornecido.

Resposta

  1. β ^ 1 = ∑ i = 1 n   x i Y i - β 0 ∑ i = 1 n   x i 2
  2. V β ^ 1 = σ 2 ∑ i = 1 n   x i 2
  3. β ^ 1 - t α 2 , n - 1 s 1 ∑ i = 1 n   x i ≤ β 1 ≤ β ^ 1 + t α 2 , n - 1 s 1 ∑ i = 1 n   x i , Menor quando β 0 é conhecido.
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