Enunciado

12-15.A Tabela 12-7 apresenta os dadlos dos pontos feitos pelo prin-

cipal jogador(quarterback)de ataque do futebol americano durante o

ano de 2004 da Liga Nacional de Futebol-LNF(fonte:The Sports

Networkl.

(a)Ajuste um modelo de regressao linear multipla para relacionar os

pontos feitos pelo principal jogador a porcentagem de jogadas com

plctas,a porcentagem de passes ao gol(PG)e a porcentagem de in

terceptacoes.

(b}listime o.

(c)Quais sio os erros-padrao dos coeficientes de regressao?

(d)Use o modelo para prever os pontos feitos quando a porcentagem

de jogadas completas for 60%a porcentagemde PGfor 4capor-

centagem de interceptacoes for 3%

Passo 1

Letra a:

A matriz X então contém 1's na primeira coluna, os valores x 1 na segunda coluna, os valores x 2 na terceira coluna, os valores x 3 na quarta coluna.

  X = 1 65.3 7.1 2.3 1 67.4 4.0 1.5 1 67.1 5.0 2.3 … 1 50.2 3.2 2.8

A matriz y contém os valores y:

y = 105.5 97.4 96.9 … 96.2

Os coeficientes da equação de predição de segunda ordem são então encontrados calculando   X T X - 1 ( X y )

β ^ = X T X - 1 X ' y = 2.8674 1.1954 4.6261 - 3.7493

A equação de regressão então se torna:

y ^ = 2.8674 + 1.1954 x 1 + 4.6261 x 2 - 3.7493 x 3

Passo 2

Letra b:

A soma dos quadrados dos erros é:

S S E = y ' y - y ' X X T X - 1 X T y = [ 117.9813 ]

A estimativa da variância σ 2 é então o erro de quadrados dividido pela diferença do tamanho da amostra e o número de parâmetros (número de colunas de X ' X - 1 :

σ ^ 2 = S S E n - p = 117.9813 32 - 4 = 117.9813 28 ≈ 4.2136

Passo 3

Letra c:

X T X - 1 = 8.3377 … … … … 0.0023 … … … … 0.0364 … … . … … 0.0569

O erro padrão é a raiz quadrada do produto da estimativa da variância σ 2 e o elemento C i i da matriz X ' X - 1 :

S E β 0 = σ ^ 2 C 00 = 4.2136 8.3377 ≈ 5.9272 S E β ^ 1 = σ ^ 2 C 11 = 4.2136 0.0023 ≈ 4.9473 S E β ^ 2 = σ ^ 2 C 22 = 4.2136 0.0364 ≈ 0.0984 S E β 3 = σ ^ 2 C 33 = 4.2136 ( 0.0569 ) ≈ 0.4896

Passo 4

Letra d:

Substitua x 1 na equação de regressão por 60, x 2 por 4, x 3 por 3 :

y ^ = 2.8674 + 1.1954 ( 60 ) + 4.6261 ( 4 ) - 3.7493 ( 3 ) = 81.8479

Resposta

  1. y ^ = 2.8674 + 1.1954 x 1 + 4.6261 x 2 - 3.7493 x 3
  2. 4.2136
  3. 5.9272,4.9473,0.0984,0.4896
  4. 81.8479
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