Enunciado

9-109. Um tabricante de instrumentos de medidas com precisão afirma

que o desvio-padrão no uso dos instrumentos é no máximo igual a

0,00002 milimetro. Um analista, que não está ciente da afirmação, usa

o instrumento oito vezes e obtém um desvio padrão da amostra de

0,00X00 i 0 milimetro.

ra) Contirme, usando um procedimento de teste e um nivel a de 0,01.

que nào hả cvidência suficiente para confirmar a afirmaçao de que o

desvio-padrào dos instrumentos é de no miximo 0.,00002. Estabele

ça quaisquer suposições necessárias sobre a distrihuiçào em toco dos

dados.

0.00001. é me-

(b)Explique por que o desvio-padrào da amostra, s-

nor do que 0,00X02, muito embora os resultados do prucedimento

de teste estatístico não confirmiem a afirmação.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom??

Vamos começar a resolvar essa questão que é super tranquila!

Confia em mim

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a um valor específico σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n uma amostra aleatória de n observações desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra  H 1 : σ 2 < σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2                   ( 1 )

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 < χ 1 - α , n - 1 2

onde χ 2 α 2 , n - 1 é o 100 α ponto percentual superior e inferior da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, respectivamente.

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa bilateral, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e dobre-a para obter o valor P. Portanto, o valor P para este teste é

valor P  = P χ 0 2 > χ 1 - α , n - 1 2                         ( 2 )

Um analista usa o instrumento n = 8 vezes e obtém um desvio padrão da amostra de s = 0.00001 milímetros.

Passo 2

Letra a:

Considere o teste de H 0 : σ = 0.00002 , contra H 1 : σ < 0.00002 , com α = 0.01

Agora, da Equação (1) obtemos o valor para o teste estatístico

χ 0 2 = ( 8 - 1 ) 0.00001 2 0.00002 2 = 1.75

Para α = 0.01 e da Tabela IV do Apêndice, obtemos

χ 1 - 0.01,7 2 = 1.24

Então

χ 0 2 = 1.75 > 1.24 = χ 1 - 0.01,7 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

O valor P para este teste é obtido da Equação (3).

Valor P  = P χ 1 - a , 7 2 < 1.75

Nós sabemos que do Apêndice Tabela IV temos:

P χ 1 - α , 7 2 > 1.69 = 0.975 P χ 1 - α , 7 2 > 2.17 = 0.95

Então

P χ 1 - α , 7 2 > 2.17 P χ 1 - α , 7 2 > 1.75 < P χ 1 - α , 7 2 > 1.69 1 - P χ 1 - α , 7 2 > 1.69 < 1 - P χ 1 - α , 7 2 > 1.75 < 1 - P χ 1 - α , 7 2 > 2.17 1 - 0.975 < P χ 1 - α , 7 2 < 1.75 < 1 - 0.95

Portanto, o valor P para este teste é

0.025 < valor P  < 0.05

Passo 3

Letra b:

O desvio padrão da amostra s = 0.00001 é inferior a 0.00002 . No entanto, os resultados do procedimento de teste estatístico não suportam a afirmação, porque o local da amostra n é muito pequeno.

Resposta

  1. Nós falhamos em rejeitar H 0 porque χ 2 0 = 1.75 > 1.24 = χ 2 1 - 0.01,7 . 0.025 < v a l o r   P < 0.05 .
  2. Porque o local da amostra n é muito pequeno.
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