Enunciado

9-114. Considere os dados de qualidade de água do Exercicio 6-24.

(a) Esses dados suportam a afirmação de que a concentraçio média de

sólidos suspensos não excede 50 partes por milhão? Use a - 0,05.

(b) Qual e o valor P para o teste do item ta?

(c) A distribuição normal parece ser um modelo razoável para esses

dados? Faça um teste apropriado de adequação de ajuste para res-

ponder essa questão.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom??

Vamos começar a resolvar essa questão que é super tranquila!

Confia em mim

Dado:

n = 60 μ 0 = 50

Valores dados:

42.4,65.7,29.8,58.7,52.1,55.8,57,68.7,67.3,67.3,54.3,54,73.1,81.3 , 59.9,56.9,62.2,69.9,66.9,59,56.3,43.3,57.4,45.3,80.1,49.7,42.8,42.4 , 59.6,65.8,61.4,64,64.2,72.6,72.5,46.1,53.1,56.1,67.2,70.7,42.6,77.4 , 54.7,57.1,77.3,39.3,76.4,59.3,51.1,73.8,61.4,73.1,77.3,48.5,89.8,50.7 , 52,59.6,66.1,31.6

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores:

x - = 42.4 + 65.7 + 29.8 + … + 59.6 + 66.1 + 31.6 60 ≈ 59.8667

A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividida por n - 1 . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

s = ( 220 - 59.8667 ) 2 + … + ( 313 - 59.8667 ) 2 60 - 1 ≈ 12.4978

Passo 2

Letra a:

Determine as hipóteses:

H 0 : μ = 50 H 1 : μ > 50

Determine o valor da estatística de teste:

t = x - - μ 0 s / n = 59.8667 - 50 12.4978 / 60 ≈ 6.115

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela V contendo o valor t na linha d f = n - 1 = 60 - 1 = 59 > 40 :

P < 0.0005

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 = 5 % ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a concentração média de sólidos suspensos não excede 50 partes por milhão.

Passo 3

Letra b:

O valor P na parte (a) foi P < 0.0005 .

Passo 4

Letra c:

O valor z é a quantidade diminuída pela média dividido pelo desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Determine a probabilidade nos intervalos/classes (de sua escolha) usando a tabela III:

P ( 28 < X < 44 ) = 0.0967 P ( 44 < X < 60 ) = 0.4021 P ( 60 < X < 76 ) = 0.3974 P ( 76 < X < 92 ) = 0.0933

A hipótese nula afirma que as proporções da população são todas iguais:

H 0 : p 1 = P ( 28 < X < 44 ) , p 2 = P ( 44 < X < 60 ) , p 3 = P ( 60 < X < 76 ) , p 4 = P ( 76 < X < 92 )

A hipótese alternativa afirma o oposto da hipótese nula:

H a :  Pelo menos um  p i é   d i f e r e n t e . 

Determine as frequências observadas O (frequências dos valores dentro da classe).

As frequências esperadas E são o produto do tamanho da amostra n e as probabilidades p i .

Os subtotais do qui-quadrado são as diferenças de quadrados entre as frequências observadas e esperadas, divididas pela frequência esperada.

χ sub  2 = ( O - E ) 2 E

O valor da estatística de teste é então a soma dos subtotais qui-quadrado:

χ 2 = ∑ ( O - E ) 2 E = 1.8352

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela IV contendo o valor χ 2 na linha d f = c - 1 = 4 - 1 = 3 :

0.500 < P < 0.900

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, a hipótese nula é rejeitada:

P > 0.05 ⇒  Falhamos em rejeitar  H 0

Não há evidências suficientes para rejeitar a alegação de uma distribuição normal.

Resposta

  1. Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a concentração média de sólidos suspensos não excede 50 partes por milhão.
  2. P < 0.0005
  3. Não há evidências suficientes para rejeitar a alegação de uma distribuição normal.
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