Enunciado

9.74. Se o desvio-padrão do diámetro do onfico exceder 0,001 milímetro, há uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o rebite não se ajustará. Suponha que n

(a) Ha uma forte evidéncia indicando que o desvio-padrão do diâmetro do orificio excede 0,01 milimetro? Use a -,01. Estabeleça quaisquer suposiçãs necessárias acerca da distribuição em foco dos dados. Encontre o valor P para esse teste.

(b) Suponha que o desvio padrão real do diametro do orificio exceda por 50% o valor usado na hipotese. Qual é a probabilidade de que essa diferença eja detectada pelo teste descrite no item (a)?

(c) Se o é realmente tão grande quanto 0,0125 milimetro, que tamanho de amostra será necessário para detectar isso com poténcia de no mí 15 es 0,00 milímetro?

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra  H 1 : σ 2 > σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2 (1)

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 > χ α , n - 1 2 (2)

onde χ 2 α , n - 1 é o 100 α ponto percentual da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição do qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa de dois lados, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e duplique-a para obter o valor P.

Portanto, o valor P para este teste é:

valor P  = P χ 0 2 < χ α , n - 1 2             ( 3 )

Sabemos que n = 15 e s = 0.008   milímetros.

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de H 0 : σ = 0.01 contra H 1 : σ > 0.01 .

Agora, da Equação (1) obtemos valor para a estatística de teste

χ 0 2 = ( 15 - 1 ) 0.008 2 0.01 2 = 8.96

Para α = 0.01 e da Tabela IV do Apêndice, obtemos.

χ 0.01,14 2 = 29.14

Então

χ 0 2 = 8.96 < 29.14 = χ 0.01.14 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

O valor P para este teste é obtido da Equação (3).

valor P  = P χ α , 14 2 > 8.96

Nós sabemos do que do Apêndice Tabela IV, temos

P χ α , 14 2 > 7.79 = 0.9 P χ α , 14 2 > 13.34 = 0.5

Então

P χ α , 14 2 > 13.34 < P χ α , 14 2 > 8.96 < P χ α , 14 2 > 7.79 0.5 < P χ α , 14 2 > 8.96 < 0.9

Portanto, o valor P é

0.5 < valor P  < 0.9

Passo 3

Letra b:

Suponha que o desvio padrão real do diâmetro do furo exceda o valor hipotético em 50%, então

σ = σ 0 + 0.5 σ 0 = 0.01 + 0.005 = 0.015

Então,

λ = σ σ 0 = 0.015 0.01 = 1.5

Este é o parâmetro de abscissa do Gráfico VIII α = 0.01 ). A partir deste gráfico, com n = 15 e λ = 1.5 , encontramos que β = 0.6 (Linha vermelha). Portanto, há apenas cerca de 40% de chance de que a hipótese nula seja rejeitada se o verdadeiro desvio padrão for realmente tão grande quanto σ = 0.015 .

Passo 4

Letra c:

Para reduzir o erro β , um tamanho de amostra maior deve ser usado. Da curva característica operacional com β = 1 - 0.8 = 0.20 e

λ = 0.0125 0.01 = 1.25

descobrimos que n = 100 , aproximadamente (veja a figura anterior, linha verde). Portanto, se quisermos que o teste seja executado conforme necessário, o tamanho da amostra deve ser de pelo menos 100.

Resposta

  1. Falhamos em rejeitar H 0 , porque χ 2 0 = 8.96 < 29.14 = χ 2 0.01 ,   14 , 0.5 < v a l o r   p < 0.9
  2. Existe apenas cerca de 40% de chance de que a hipótese nula seja rejeitada.
  3. n = 100
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