Enunciado

De acordo com a publicação USA Today (18 de março de 1997), de quatro milhões de trabalhadores, 5,8% têm teste positivo para uso de drogas. Destes, 22,5% são usuários de cocaína e 54,4% são usuários de maconha.

(a) Qual é a probabilidade de que, de dez trabalhadores com teste positivo para drogas, dois sejam usuários de cocaína, cinco de maconha e três de outras drogas?

(b) Qual é a probabilidade de que, dos dez testados, todos sejam usuários de maconha?

(c) Qual é a probabilidade de que, dos dez testados, nenhum seja usuário de cocaína?

Passo 1

Bom dia, boa tarde ou boa noite! Vamos juntos resolver mais um exercício!

Primeiro vamos organizar nossos dados, assim fica tudo mais fácil de ser feito.

Temos, a quantidade de trabalhadores :   4   m i l h õ e s

Quantidade de usuários de drogas: 5,8 % × 4   m i l h õ e s

Quantidade de usuários de cocaína: 22,5 % × 232 m i l

Quantidade de usuários de maconha: 54,4 % × 232 m i l

Quantidade de usuários de outras drogas: 23.1 % × 232 m i l

No final das contas, não usaremos muito

Passo 2

Agora, com tudo isso enunciado, vamos ao item a).

Neste item teremos que determinar a distribuição conjunta da distribuição multinominal, para nos ajudar de alguma forma.

f x 1 , x 2 , x 3 = n x 1 , x 2 , x 3 p x 1 q x 2 r x 3

No caso do item a), temos

n = 10 ; x 1 = 2 , x 2 = 5 , x 3 = 3

p , q   e   r são as probabilidades associadas a um determinado usuário de drogas usar cocaína, maconha ou uma outra droga, respectivamente.

Pelo enunciado, nós temos que:

p = 0.225 ; q = 0.544   e   r = 0.231

Assim, vamos apenas substituir os valores na nossa fórmula inicial.

Desse modo:

f 2,5 , 3 = 10 2,5 , 3 ( 0.225 ) 2 ( 0.544 ) 5 ( 0.231 ) 3 = 0.0749

Passo 3

Agora, vamos ao item b).

Neste item teremos 10 testados novamente, mas agora teremos que todos serão usuários de maconha, desse modo temos:

f 0,10,0 = 10 0,10,0 ( 0.225 ) 0 ( 0.544 ) 10 ( 0.231 ) 0 = 0.0023

Por último, mas não menos importante, vamos ao item c)

Neste item ele pede que dos dez testados, nenhum seja usuário de cocaína.

Para esse caso, nós podemos analisar da seguinte forma, ou o usuário usa cocaína, ou usa outra droga qualquer.

OPA! Temos apenas dois casos possíveis, então voltamos para uma distribuição binomial e essa nós sabemos resolver facilmente.

Lembrando de como modelar um exercício para binomial:

b x ; n ; p   o n d e   n = 10 ,   p = 0.225   e   q = 0.775

E lembrando da relação

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Assim, temos:

b ( 0 ; 10 ; 0.225 ) = 10 0 ( 0.225 ) 0 ( 0.775 ) 10 = 0.0782

E por fim, terminamos mais um exercício!

Resposta

a) f 2,5 , 3 = 0.0749

b) f 0,10,0 = 0.0023

c)   b ( 0 ; 10 ; 0.225 ) = 0.0782

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que n jogadas independentes de uma moeda que tem probabilidade p de dar cara sejam feitas. Mostre que a probabilidade de sair um número par de caras é de 1 2 ( 1 + q - p n ) , onde q = 1-p. Fa
Uma família tem n filhos com probabilidade α p n , n ≥ 1 , onde α ≤ ( 1 - p ) / p .Que proporção de famílias não tem filhos?Se cada filho tem a mesma probabilidade de ser um menino ou uma menina (inde
Uma urna contém inicialmente uma bola vermelha e uma bola azul. Em cada rodada, uma bola é sorteada e então substituída por outra de mesma cor. Suponha que X represente o número da seleção da primeira
Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros (n,p). Que valor de p maximiza P(X = k), k = 0, l ,..., n? Este é um exemplo de método estatístico usado para estimar p quando uma variável aleató
Uma urna contém inicialmente uma bola vermelha e uma bola azul. Em cada rodada, uma bola é sorteada e então substituída por outra de mesma cor. Suponha que X represente o número da seleção da primeira