Enunciado

De acordo com a publicação Chemical Engineering Progress (nov. 1990), aproximadamente 30% de todas as falhas nas tubulações das indústrias são causadas por erro do operador.

  1. Qual é a probabilidade de que, das próximas 20 falhas na tubulação, pelo menos dez sejam por erro do operador?
  2. Qual é a probabilidade de que não mais que quatro de 20 falhas sejam causadas por erro do operador?
  3. Suponha, para uma indústria em particular, que em uma amostra aleatória de 20 falhas exatamente cinco sejam erros operacionais. Você acredita que os 30% citados anteriormente se aplicam a essa indústria?

Passo 1

Fala galera, vamos resolver mais um exercício? VEM COMIGO!

Vamos resolver o item (a).

Se nós definirmos nossa variável aleatória X, sendo falhas por conta do erro do operador, teremos no item a:

P X ≥ 10 = 1 - P ( X ≤ 9 )

Para tal, vamos calcular P ( X ≤ 9 )

Basta lembrarmos que se trata de uma distribuição binomial, logo podemos modelar da seguinte maneira b x ; n ; p   o n d e   n = 20 ,   p = 0.3   e   q = 0.7

Logo,

P X ≤ 9 = ∑ x = 0 9 b x ; 20 ; 0,3

Lembrando do fato:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Logo, faremos a substituição dos respectivos valores de x na fórmula logo acima e somaremos, valor a valor, para cada x obtido, desse modo ficaremos com:

P X ≤ 9 = ∑ x = 0 9 b x ; 20 ; 0,3 = 0.9520

Voltando a nossa expressão original: P X ≥ 10 = 1 - P X ≤ 9 = 1 - 0.9520 = 0.0480

Passo 2

Vamos agora resolver o item (b).

Como definimos nossa variável aleatória X, sendo falhas por conta do erro do operador, teremos, nesse item:

P X ≤ 4

Para resolvermos, lembremos de tratar de uma distribuição binomial

Lembrando da modelação do problema:

b x ; 20 ; 0.3

E relembrando novamente o fato:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Basta calcular o binomial para x = 0 , x = 1 ,   x = 2 , x = 3   e   x = 4 e somar os valores, obtendo:

P X ≤ 4 = ∑ x = 0 4 b x ; 20 ; 0,3 = 0.2375

Passo 3

Por último, mas não menos importante, calculemos o item c.

Nessa indústria, temos 20   a m o s t r a s   e   5   c o m   e r r o s   o p e r a c i o n a i s .

Vamos calcular P ( X = 5 ) para termos parâmetros

P X = 5 = b 5,20,0.3 = 20 5 0.3 5 0.7 15 = 0.1789

O valor encontrado para P ( X = 5 ) não é muito pequeno, pelo contrário, é um valor considerável, então este não é um evento que ocorre em raridade. Portanto, admitir P = 0.3 é razoável.

Resposta

a) P X ≥ 10 = 0.0480

b) X ≤ 4 = 0.2375

c) Admitir P = 0.3 é razoável.

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