Enunciado

Alterando dados - Uma amostra dos salários anuais (em milhares de dólares) dos funcionários de uma empresa está listada a seguir.

42 36 48 51 39 39 42 36 48 33 39 42 45

(a) Encontre a média amostral e o desvio padrão amostral.

(b) Cada funcionário na amostra recebe 5% de aumento. Encontre a média amostral e o desvio padrão amostral para o conjunto de dados revisado.

(c) Para calcular o salário mensal, divida cada salário original por 12. Encontre a média amostral e o desvio padrão amostral para o conjunto de dados revisado.

(d) O que se pode concluir dos resultados de (a), (b) e (c)?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Dado que

42   36   48   51   39   39   42   36   48   33   39   42   45

A média é a soma de todos os valores dividido pela quantidade de valores,

x - = ∑ x n = 42 + 36 + 48 + 51 + 39 + 39 + 42 + 36 + 48 + 33 + 39 + 42 + 45 13 = 540 13

Que é aproximadamente

x - ≈ 41,5385

Como são 13 números para o conjunto de dados, a variância é a soma dos desvios padrões da média dividido por n - 1 . Com isso,

s 2 = ∑ x - x - 2 n - 1

Que é aproximadamente igual a

s 2 ≈ 28,2692

Logo, o desvio padrão é igual a raíz quadrada da variância, logo,

s = 28,2692 ≈ 5,3169

Passo 2

B – Cada funcionário vai receber 5% de aumento, com isso, nós temos que

42 + 5 % ∙ 42 = 42 + 0,05 ∙ 42 = 44,1

4 8 + 5 % ∙ 4 8 = 4 8 + 0,05 ∙ 4 8 = 50,4

36 + 5 % ∙ 36 = 36 + 0,05 ∙ 36 = 37,8

51 + 5 % ∙ 51 = 51 + 0,05 ∙ 51 = 53,55

39 + 5 % ∙ 39 = 39 + 0,05 ∙ 39 = 4 0,95

39 + 5 % ∙ 39 = 39 + 0,05 ∙ 39 = 40,95

42 + 5 % ∙ 42 = 42 + 0,05 ∙ 42 = 44,1

36 + 5 % ∙ 36 = 36 + 0,05 ∙ 36 = 37,8

48 + 5 % ∙ 48 = 48 + 0,05 ∙ 48 = 50,4

33 + 5 % ∙ 33 = 33 + 0,05 ∙ 33 = 34,65

39 + 5 % ∙ 39 = 39 + 0,05 ∙ 39 = 40,95

42 + 5 % ∙ 42 = 42 + 0,05 ∙ 42 = 44,1

4 5 + 5 % ∙ 4 5 = 4 5 + 0,05 ∙ 4 5 = 4 7,25

A média é a soma de todos os valores dividido pela quantidade de valores,

x - = ∑ x n

Substituindo os valores, nós temos que

x - = 44,1 + 37,8 + 50,4 + 53,55 + 40,95 + 40,95 + 44,1 + 37,8 + 50,4 + 34,65 + 40,95 + 44,1 + 47,25 13

Com isso, temos que

x - = 567 13

O que dá o seguinte valor aproximado

x - ≈ 43,6154

A variância é igual a

s 2 = ∑ x - x - 2 n - 1

Que vai dar aproximadamente

s 2 ≈ 31,1668

O desvio padrão é o raíz quadrada da variância:

s = 31,1668 ≈ 5,5827

Passo 3

C – Todo o salário é dividido por 12 (para determinar o salário mensal no lugar do salário anual)

42 / 12 = 3,5 ;

  36 / 12 = 3 ;  

48 / 12 = 4 ;    

51 / 12 = 4,25

39 / 12 = 3,25

39 / 12 = 3,25

42 / 12 = 3,5

36 / 12 = 3

48 / 12 = 4

33 / 12 = 2,75

39 / 12 = 3,25

42 / 12 = 3,25

45 / 12 = 3,7 5

A média é a soma de todos os valores dividido pelo número de valores:

x - = ∑ x n = 3,5 + 3 + 4 + 4,25 + 3,25 + 3,25 + 3,5 + 3 + 4 + 2,75 + 3,25 + 3,5 + 3,75 13 = 45 13

O que dá o seguinte valor aproximado

x - ≈ 3,4615

A variância é igual a

s 2 = ∑ x - x - 2 n - 1

Que vai dar aproximadamente

s 2 ≈ 0,1963

O desvio padrão é o raíz quadrada da variância:

s = 0,1963 ≈ 0,4431

Passo 4

D – Nós notamos que

41,5385 + 5 % ∙ 41,5385 = 41,5385 + 0,05 ∙ 41,5385 = 43,6154

5 , 3169 + 5 % ∙ 5 , 3169 = 5 , 3169 + 0,05 ∙ 5,3169 = 5 , 5827

Assim, notamos que se todos os valores dos dados aumentarem em 5%, a média e o desvio também aumentarão em 5%. Em geral, se todos os valores dos dados forem multiplicados pela mesma constante, a média e o desvio padrão também serão multiplicados por essa constante. Também notamos:

41,5385 12 = 3,4615

5,3169 12 = 0,4431

Em geral, se todos os valores dos dados são divididos pela mesma constante, então a média e o desvio padrão por essa constante.

Resposta

a )   M é d i a : 41,5385  

D e s v i o   p a d r ã o : 5,3169

b )   M é d i a : 43,6154

D e s v i o   p a d r ã o : 5,5827

c )   M é d i a : 3,4615

D e s v i o   p a d r ã o : 0,4431

d )   R e s p o n d i d o   a c i m a !

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