Enunciado

Antes da distribuição de certo software estatístico, um de cada quatro CDs tem testada sua precisão. O processo de teste consiste em rodar quatro programas independentes e checar os resultados. O índice de falha para os quatro programas testados é, respectivamente, 0,01; 0,03; 0,02 e 0,01.

(a) Qual é a probabilidade de que um certo CD seja testado e falhe em qualquer teste?

(b) Dado que um CD foi testado, qual é a probabilidade de que ele tenha falhado nos programas 2 ou 3?

(c) Numa amostra de 100 CDs, quantos você esperaria que sejam rejeitados?

(d) Dado que um C D apresenta defeitos, qual é a probabilidade de que tenha sido testado?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Organizando os eventos e as probabilidades.

A cada 4 CDs, 1 é testado. Logo, usando T para representar o evento em que o CD é testado, temos:

P T = 1 4 = 0,25

Usando F i para denotar o evento em que o programa de CD falhou ( i = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ) . As probabilidades de falha e de sucesso são:

P F 1 = 0,01       e P F 2 ' = 0,99

P F 2 = 0,0 3       e P F 2 ' = 0 , 97

P F 3 = 0,0 2       e P F 3 ' = 0 , 98

P F 4 = 0,01       e P F 4 ' = 0 , 99

E como os 4 programas são independentes, a probabilidade dos 4 terem sucesso é:

P O s   4   p r o g r a m a s o b t é m   s u c e s s o = P ( F 1 ' ) ∙ P ( F 2 ' ) ∙ P ( F 3 ' ) ∙ P ( F 4 ' )

= 0,99 0,97 0,98 0,99 = 0,932

Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

O CD estará com problema se algum dos programas falhar. Usando D para representar o evento em que o CD falha no teste, temos:

P D = 1 - P O s   4   p r o g r a m a s o b t é m   s u c e s s o

P D = 1 - 0,932 = 0,068

Passo 3

Precisamos encontrar a probabilidade de que um CD foi testado e falhou em todos os testes. Logo, queremos encontra P ( T ∩ D ) .

Sabendo que os eventos são independentes, a relação abaixo é verdadeira:

P T ∩ D = P T ∙ P D = 0,25 ∙ 0,068 = 0,017

Passo 4

A probabilidade do segundo e terceiro programa falharem, mas os outros obterem sucesso é:

P C D   f a l h a   p o r   c a u s a   d o s e g u n d o   e   t e r c e i r o   p r o g r a m a = 1 - P F 2 ' ∙ P F 3 ' ∙ P ( F 1 ' ) ∙ P F 4 '

= 1 - 0,97 ∙ 0,98 ∙ 0,99 ∙ 0,99 = 0,0484

Passo 5

Sabemos que a probabilidade de 1 CD falhar é 0,068 . Então, esperamos o seguinte:

100 ∙ 0,068 ≈ 7

Esperamos que falhe aproximadamente 7 CDs.

Passo 6

Por fim, a probabilidade solicitada pelo enunciado é P ( T | D ) .

De acordo com a definição de probabilidade condicional:

P T D = P ( T ∩ D ) P ( D )

Os eventos do numerador são independentes. Portanto, podemos reescrever a fórmula como:

P T D = P ( T ) ∙ P ( D ) P ( D )

P T D = P ( T )

P T D = 0,25

Resposta

a) 0,017

b) 0,0484

c) 7

d) 0,25

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