Enunciado

Na situação do Exercício 2.99, sabe-se que o sistema não funciona. Qual é a probabilidade de que o componente A também não funcione?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Organizando os eventos.

O sistema só irá funcionar se: o componente A funcionar e o componente B ou C funcionar e o componente D funcionar e o componente E funcionar.

As probabilidades são:

P A = 0,7             e             P A ' = 0,3

P B = 0,7

P C = 0,8

P D = 0 , 8

P E = 0,8

Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade para o sistema funcionar.

Essa probabilidade é P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E . E a seguinte relação é verdadeira:

  P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E = P A ∩ B + P C ∩ D ∩ E - P A ∩ B ∩ C ∩ D ∩ E

Como os componentes são independentes, podemos aplicar a seguinte simplificação:

= P A ∙ P B + P C ∙ P D ∙ P E - P ( A ) ∙ P ( B ) ∙ P ( C ) ∙ P ( D ) ∙ P ( E )

Substituindo os valores do enunciado.

P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E = 0,7 ∙ 0,7 + 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 - 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8

P A ∩ B ∪ C ∩ D ∩ E = 0,751

Então, a probabilidade para o sistema funcionar é 0,751 .

Denotando como W o evento onde o sistema funciona. A probabilidade onde o sistema não funciona é:

P W ' = 1 - P W = 1 - 0,751 = 0,249

Passo 3

A segunda probabilidade pode ser definida como P A ' W ' .

De acordo com a definição de probabilidade condicional, temos:

P A ' W ' = P A ' ∩ W ' P ( W ' )

Primeiro, vamos encontrar P A ' ∩ W ' pela probabilidade de que dado que componente A falha, o sistema não funciona.

P A ' ∩ W ' = P ( A ' ) ∙ P ( W ' | A ' )

P A ' ∩ s W ' = P ( A ' ) ∙ 1 - P C ∩ D ∩ E

= 0,3 ∙ ( 1 - 0,8 3 )

P A ' ∩ W ' = 0 , 1464

Por fim, podemos achar a probabilidade solicitada pelo enunciado.

P A ' W ' = P A ' ∩ W ' P ( W ' )

= 0,1 464 0 , 249

P A ' W ' = 0 , 588

Resposta

a) 0 , 249

b) 0 , 588

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