Enunciado

Após embaralhar um baralho de 52 cartas, um crupiê dá cinco cartas. Seja X = número de naipes representados na mão de cinco cartas.

  1. Mostre que a fmp de X é
  2. Calcule μ ,   σ 2 e   σ

Passo 1

Dado: X=o número de naipes representados na mão de cinco cartas.

Um baralho de cartas padrão contém 52 cartas, das quais 26 são vermelhas e 26 são pretas, 13 são de cada naipe (copas, ouros, espadas, paus) e das quais 4 são de cada denominação (A, 2 a 10, J, Q, K). As cartas de figuras são os valetes J, as damas Q e os reis K.

  1. A probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis:
  2. P e s p a d a = #   d e   r e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s #   d e   r e s u l t a d o s   p o s s í v e i s = 13 52 = 1 4

    Observe que uma vez que uma espada foi tirada, restam 51 cartas no baralho de cartas, das quais existem apenas 12 espadas.

    Regra de multiplicação para eventos independentes:

    P A   e   B = P A ∙ P B

    Existem quatro naipes, assim podemos obter todos os corações, todos os paus, todas as espadas ou todos os ouros. Cada uma dessas opções terá a mesma probabilidade:

    p 1 = 4 P t o d a s   a s   e s p a d a s = 4 ∙ 13 52 ∙ 12 51 ∙ 11 50 ∙ 10 49 ∙ 4 48 ≈ 0.002

    Existem 6 combinações diferentes de dois naipes. Na mão de cinco cartas com exatamente 2 naipes, temos 1 carta de um naipe e 4 cartas dos outros naipes (5 maneiras de ordenar e 2 naipes), ou 2 cartas de um naipe e 3 cartas do outro naipe (10 formas de encomendar e 2 fatos)

    P (somente espadas e copas com pelo menos um de cada naipe)

    = 2 ∙ 5 ∙ 13 52 ∙ 12 51 ∙ 11 50 ∙ 10 49 ∙ 13 48 + 2 ∙ 10 ∙ 13 52 ∙ 12 51 ∙ 11 50 ∙ 13 49 ∙ 12 48

    ≈ 0.0243

    p 2 = 6 P = 0.146

    Passo 2

    Se temos 4 naipes na mão de cinco cartas, então um dos naipes tem duas cartas na mão e existem 4 naipes possíveis para ter as duas cartas (10 maneiras possíveis de ordenar as duas espadas em cinco cartas e 6 maneiras possíveis para ordenar os três naipes restantes).

    P ( 2   e s p a d a s   e   u m   d e   c a d a   u m   d o s   o u t r o s   n a i p e s )

    = 6 ∙ 10 ∙ 13 52 ∙ 12 51 ∙ 13 50 ∙ 13 49 ∙ 13 48 ≈ 0.066

    p 4 = 4 P = 2 0.066 = 0.243

    P   n ã o   A = 1 - P A

    A probabilidade restante pode então ser determinada usando a regra do complemento:

    p 3 = 1 - p 1 - p 2 - p 4 = 1 - 0.002 - 0.146 - 0.264 = 0.588

  3. O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P(x):

μ =   ∑ x P x = 1 ∙ 0.002 + 2 ∙ 0.146 + 3 ∙ 0.588 + 4 ∙ 0.264 = 3.114

A variância é o valor esperado do desvio quadrado da média:

σ 2 =   ∑ x - μ 2 P x = 1 - 3.114 2 ∙ 0.002 + 2 - 3.114 2 ∙ 0.146 + 3 - 3.114 2 ∙ 0.588 + 4 - 3.114 2 ∙ 0.264 = 0.405004

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

σ =   0.405004 = 0.6364

Resposta

  1. p 1 = 0.002 ,   p 2 = 0.146 ,   p 3 = 0.588   e   p 4 = 0.264
  2. μ = 3.114 ,   σ 2 = 0.405004   e   σ = 0.6364

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