Enunciado

Um fabricante de pilhas de lanterna deseja controlar a qualidade de seus produtos rejeitando os lotes em que a proporção de pilhas com voltagem inaceitável seja muito alta. Assim, em cada lote grande (10.000 pilhas), 25 serão selecionadas e testadas. Se ao menos cinco delas gerarem voltagens inaceitáveis, todo o lote será rejeitado. Qual é a probabilidade de um lote ser rejeitado se

a) 5% das pilhas do lote tiverem voltagens inaceitáveis?

b) 10% das pilhas do lote tiverem voltagens inaceitáveis?

c) 20% das pilhas do lote tiverem voltagens inaceitáveis?

d) O que aconteceria às probabilidades nas partes (a)–(c) se o número crítico de rejeição fosse aumentado de 5 para 6?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Primeiro vamos definir a nossa variável aleatória X, sendo o número de pilhas com voltagens inaceitáveis.

Agora de cara indo ao item a)

Queremos P ( X ≥ 5 ) :

Sabemos que o exercício pode ser resolvido como binomial, lembremos que a binomial é tratada como:

b x , n , p = n x p x q n - x

No nosso caso do item a), temos que:

x = 4 ;   n = 25 ;   p = 0.05

Usando o complementar, chegamos em:

P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0.05 = 0.007

Passo 2

Vamos ao item b)

Nesse caso também trataremos o nosso caso com a binomial, só muda que:

x = 4 ;   n = 25 ;   p = 0 . 10

Assim,

P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0 . 10

Lembrando que

b x , n , p = n x p x q n - x

Concluímos que:

P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0.10 = 0.098

Passo 3

Agora, partindo ao item c)

Nesse item faremos o mesmo que foi feito em a) e b):

Usaremos a binomial e o complementar, com a única diferença que:

x = 4 ;   n = 25 ;   p = 0 . 2

Assim,

P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0 . 2 0

Lembrando que

b x , n , p = n x p x q n - x

Concluímos que:

P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0 . 2 0 = 0 . 579

Passo 4

Por fim, fazendo o item d)

Nesse item faremos apenas uma singela analise com o que aconteceria se aumentássemos o número critico de rejeição.

Lembrando da fórmula

P X ≥ 6 = 1 - b 5 ; 25 ; p

Com isso, podemos concluir que todos diminuiriam, o que é ruim se a % estudada for grande e bom se o % for pequeno.

Resposta

a) P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0.05 = 0.007

b) P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0.10 = 0.098

c) P X ≥ 5 = 1 - b 4 ; 25 ; 0.20 = 0.579

d) vide explicação.

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