Enunciado

O artigo “Analysis of the Modeling Methodologies for Predicting the Strength of Air–Jet Spun Yarns” (Textile Res. J., 1997, p. 39–44) relatou um estudo realizado para relacionar a tenacidade da fibra (y, em g/tex.) com a contagem de fibras (x1, em tex), porcentagem de poliéster (x2), pressão do primeiro bocal (x3, em kg/cm2 ) e pressão do segundo bocal (x4, em kg/cm2 ). A estimativa do termo constante na equação de regressão múltipla correspondente foi 6,121. Os coeficientes estimados dos quatro previsores foram –0,082, 0,113, 0,256 e –0,219, respectivamente, e o coeficiente de determinação múltipla foi 0,946. a. Supondo que o tamanho da amostra tenha sido n = 25, expresse e teste as hipóteses apropriadas para determinar se o modelo ajustado especifica uma relação linear útil entre a variável dependente e no mínimo um entre os quatro previsores do modelo. b. Novamente usando n = 25, calcule o valor de R2 ajustado. c. Calcule um intervalo de confiança de 99% para a tenacidade média real da fibra quando a contagem de fibras for 16,5, a fibra contiver 50% de poliéster, a pressão do primeiro bocal for 3 e a pressão do segundo bocal for 5, e o desvio padrão estimado da tenacidade prevista sob essas circunstâncias for 0,350

Passo 1

  1. As hipóteses apropriadas são H 0   : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0   v s .   H a   : p e l o   m e n o s   β i ≠ 0 . A estatística de teste é (a menor nível de significância disponível da Tabela A.9), então podemos rejeitar Ho em qualquer nível de significância. Concluímos que pelo menos uma das quatro variáveis ​​preditoras aparece para fornecer informações úteis sobre tenacidade.
  2. O R² ajustado valor é 1 - n - 1 n - k + 1 S S E S S T = 1 - n - 1 n - k + 1 1 - R 2 = 1 - 24 20 1 - 0.946 = 0.935 , que não difere muito de R² = 0.946.
  3. Passo 2

  4. A tenacidade média estimada quando x 1   =   16 . 5 ,   x 2   =   50 ,   x 3   =   3   e   x 4   =   5 é

y ^   =   6 . 121 -   0 . 082 x   +   0 . 113 x   +   0 . 256   x   -   0 . 219   x

y ^   =   6 . 121   - 082 ( 16 . 5 ) + 0 . 113 ( 50 )   + 0 . 256 ( 3 )   - 0 . 219 ( 5 )   = 10 . 091 . Para um C.I. de 99%, t 0.005,20 = 2.845 , então o intervalo é 10 . 091   ±   2 . 845 ( 0 . 350 )   =   ( 9 . 095,11 . 087 ) . Portanto, quando os quatro preditores são como especificados neste problema, a verdadeira tenacidade média é estimada entre 9.095 e 11.087.

Resposta

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