Enunciado

O artigo “Characterization of Room Temperature Damping in Aluminum-Indium Alloys” (Metallurgical Trans., 1993, p. 1611-1619) sugere que o tamanho de grão de matriz Al (m) de uma liga formada por 2% de índio pode ser modelado com uma distribuição normal de valor médio 96 e desvio padrão

a. Qual é a probabilidade de o tamanho do grão exceder 100?

b. Qual é a probabilidade de o tamanho do grão estar entre 50 e 80?

c. Que intervalo (a, b) inclui os 90% centrais de todos os tamanhos de grãos (de forma que 5% estejam abaixo de a e 5% acima de b)?

Passo 1

Me chamo Yuri e hoje estarei aqui para lhe ajudar a resolver mais uma atividade com o padrão de qualidade do responde aí. Vem comigo!!!!

É dado que Y é a distância da extremidade esquerda na qual ocorre a quebra. Também é dado que Y tem pdf f(y), escrito como:

f y = 1 24 ∙ y 1 - y 12 0 ,   0 ≤ y ≤ 12

  1. Recordamos a definição de cdf de uma variável contínua.
  2. Definição: A função de distribuição cumulativa F(y) para uma rv contínua Y é definida para cada número y por

    F y = P Y ≤ y =   ∫ - ∞ y f x ∙ d x

    Para qualquer número y entre 0 e 12

    F y = ∫ 0 y 1 24 ∙ x ∙ 1 - x 12 ∙ d x

    = 1 24 ∙ ∫ 0 y x - x 2 12 ∙ d x

    = 1 24 y 2 2 - x 3 36 0 y

    F y = y 2 48 - y 3 864

    Assim, F(y) pode ser dado como:

    F y =   0 ,   y < 0 y 2 48 - y 3 864 ,   0 ≤ y ≤ 12 1 ,   y > 12

    O cdf F(Y) é plotado na figura abaixo:

  3. Calculando P   X   ≤ 4 :
  4. P X   ≤ 4 = F 4

    = 4 2 48 - 4 3 864

    = 1 3 - 2 27 = 9 27 - 2 27

    = 7 27

    P X   ≤ 4 = 0.2592

    Calculado P   6 < Y :

    P   6 < Y = 1 - F 6

    = 1 - 6 2 48 - 6 3 864

    = 1 - 3 4 - 1 4

    = 1 - 0.5

    P 6 < Y = 0.5

    Passo 2

    Calculando P 4 ≤ Y ≤ 6 :

    P 4 ≤ Y ≤ 6 = F 6 - F 4

    = 0.5 - 0.2592

    P 4 ≤ X ≤ 6 = 0.2408

    Proposição: Seja X uma va contínua com pdf f(x) e cdf F(x). Então, para qualquer número a

    P a   ≤ X ≤ b = F b - F a

  5. O valor médio da distribuição dada pode ser dado como:
  6. E Y =   ∫ - ∞ ∞ y ∙ f y ∙ d y

    = ∫ 0 12 y 1 24 y 1 - y 12 d x

    = 1 24 ∫ 0 12 y 2 - y 3 12 d x

    = 1 24 12 3 3 - 12 4 48

    E Y = 6

    E Y ² =   ∫ - ∞ ∞ y ² ∙ f y ∙ d y

    = ∫ 0 12 y ² 1 24 y 1 - y 12 d x

    = 1 24 ∫ 0 12 y 3 - y 4 12 d x

    = 1 24 12 4 4 - 12 5 60

    E Y = 43.2

    Como já calculamos E(X) na última parte: E(Y) = 6, portanto, usamos a seguinte proposição:

    V Y = E Y 2 - E Y 2

    Podemos escrever:

    V Y = 43.2 - 6 2

    V Y = 7.2

    Passo 3

  7. Como o ponto de interrupção esperado é calculado como 6 polegadas na última parte, portanto, a probabilidade de que o ponto de interrupção ocorra a mais de 2 polegadas do ponto de interrupção esperado podem ser representadas como P   ( Y < 4   o u   Y > 8 ) .
  8. Este evento é o complemento do evento em que o ponto de interrupção ocorre dentro de 2 polegadas do ponto de interrupção esperado. Por isso

    P Y < 4   o u   Y > 8 = 1 - P 4 ≤ Y ≤ 8

    = 1 - F 8 - F 4

    = 1 - 8 2 48 - 8 3 864 - 4 2 48 - 4 3 864

    = 1 - 20 27 - 7 27 = 14 27

    P ( Y < 4   o u   Y > 8 = 0.5185

  9. Seja X a variável aleatória que denota o comprimento do segmento mais curto quando ocorre a quebra. Então podemos escrever X em termos de Y como:

x =   y ,   0 ≤ y ≤ 6 12 - y , 6 < y ≤ 12

Portanto, o valor esperado de X pode ser escrito como:

E X =   ∫ 0 6 y ∙ f y ∙ d y + ∫ 6 12 12 - y ∙ f y ∙ d y

= ∫ 0 6 y ∙ 1 24 ∙ y 1 - y 12 ∙ d x + ∫ 6 12 12 - y ∙ 1 24 ∙ y 1 - y 12 d x

Pulando todas as contas dessas integrais, que não são o nosso foco, temos que

E Y = 3.75

Resposta

  1. F y =   0 ,   y < 0 y 2 48 - y 3 864 ,   0 ≤ y ≤ 12 1 ,   y > 12
  2. 0.2592,0.5,0.2408
  3. 6,43.2,7.2
  4. 0.5185
  5. 3.75

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