Enunciado

O artigo “Chronological Trend in Blood Lead Levels” (N. Engl. J. Med., 1983, p. 1373–1377) apresenta os dados a seguir sobre y nível médio de chumbo no sangue de crianças brancas entre 6 meses e 5 anos de idade e x quantidade de chumbo usada na produção de gasolina (em 1000 t) em dez períodos de seis meses:

a. Construa gráficos distintos de probabilidade normal para x e y. Você acha razoável supor que os pares (x, y) são de uma população normal bivariada?

b. Os dados fornecem evidência suficiente para concluir que existe uma relação linear entre o nível de chumbo no sangue e a quantidade de chumbo usada na produção de gasolina? Use 0,01.

Passo 1

  1. O coeficiente de correlação da amostra r é dado por
  2. r = S x y ∑ x i - x ¯ 2 ∑ y i - y ¯ 2 = S x y S x x S y y

    Onde

    S x y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i

    S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2

    S y y = ∑ y i - y ¯ 2 = ∑ y i 2 - 1 n ∑ y i 2

    O coeficiente de correlação da amostra r é

    r = S x y ∑ x i - x ¯ 2 ∑ y i - y ¯ 2

    = 44185.87 64732.83 130566.96

    = 0.4806

    Passo 2

  3. Ao testar H 0   :   ρ = 0 versus uma das alternativas, a estatística de teste é
  4. T = R n - 2 1 - R ²

    que tem distribuição t com n−2 graus de liberdade, onde R é o coeficiente de correlação amostral como variável aleatória. Dependendo da hipótese alternativa, o valor de P é a área correspondente sob t n - 2 curva.

    A hipótese alternativa é H a   :   ρ ≠ 0 . O valor da estatística T é

    t = r n - 2 1 - r 2 = 0.4806 15 - 2 1 - 0.4806 2 = 1.98

    O valor de P, calculado usando um software, é

    P = 2 P T > t = 0.069

    P = 0.069 > 0.01 = α

    não rejeite a hipótese nula no nível de significância α. O coeficiente de correlação populacional não difere de 0. Não há relação linear entre as duas variáveis.

    Passo 3

  5. A hipótese alternativa é H a   :   ρ > 0 . O valor da estatística T é

t = r n - 2   1 - r ² = 0.4806 15 - 2 1 - 0.4806 ² = 1.98

O valor de PP, calculado usando um software, é

P = P ( T > ∣ t ∣ ) = 0,035 .

Do fato

P = 0,035 > 0,01 = α

não rejeite a hipótese nula no nível de significância α. O coeficiente de correlação populacional não é positivo. No entanto, no nível de significância 0.05, vale o seguinte

P = 0,035 < 0,05 = α

o que indica rejeitar a hipótese nula e concluir que de fato o verdadeiro coeficiente de correlação populacional entre as duas variáveis é positivo (em 0,05)

Resposta

  1. r=0.4806;
  2. Não rejeite a hipótese nula;
  3. Conclua que não é positivo em 0.01; é positivo em 0.05.

Exercícios de Livros Relacionados

Considere os dados do Exercício 11-5 sobre y = c o n s u m od ev a p o r e x = t e m p e r a t u r am é d i a é .a) Teste a significância da regressão, usando α = 0,01 . Qual é o valor P para esse tes
A tabela seguinte apresenta dados concernentes a pontos feitos pelo principal jogador (quarterback) de ataque de futebol americano durante o ano de 2004 da Liga Nacional de Futebol Americano (fonte: T
Considere os dados do Exercício 11-14 sobre y = d e f l e x ã o ã e x = n í v e ld et e n s ã o í ã .a) Teste a significância da regressão com α = 0,01 . b) Estime os erros-padrão da inclinação e da i
Suponha que cada valor de x i seja multiplicado por uma constante positiva a e que cada valor de y i seja multiplicado por uma outra constante positiva b . Mostre que a estatística t para testar H 0 :
Um artigo em The Journal of Clinical Endocrinology and Metabolism (“Simultaneous and Continuous 24 Hour Plasma and Cerebrospinal Fluid Leptin Measurements: Dissociation of Concentrations in Central an