Enunciado

Com base em dados do National Health Survey (EUA), os homens na faixa etária 25-34 têm alturas com desvio-padrão de 2,9 in. Teste a afirmação de que os homens na faixa etária 45-54 têm alturas com desvio-padrão diferente. Relacionam-se a seguir as alturas de 25 homens selecionados aleatoriamente na faixa 45-54:

Passo 1

Fala ae, pessoal! Bora fazer esse exercício de teste de hipóteses!

Seguindo o procedimento padrão para o teste de hipóteses, primeiro vamos dizer qual é a nossa hipótese nula e a nossa hipótese alternativa nesse problema:

H 0 : σ = 2,9

H 1 : σ ≠ 2,9

Onde H 1 é a nossa hipótese original.

Passo 2

Como a afirmação é sobre um desvio-padrão, vamos aplicar a distribuição qui-quadrado. Mas para aplicar essa distribuição, devemos calcular desvio padrão amostral s . Para calcular esse s , usamos a formulazinha:

s = ∑ i = 1 n x i - x - 2 n - 1

Sendo:

x - = 1 n ∑ i = 1 n x i

Onde x i representa os elementos do conjunto de dados que estamos analisando. Calculando, eu encontrei x - = 68,8428 e s = 2,3401 .

Agora sim, vamos para a distribuição qui-quadrado.

χ 2 = n - 1 s 2 σ 2

χ 2 = 25 - 1 2,3201 2 2,9 2 = 15,627

Dando uma olhada na hipótese, vemos que o teste realizado será bilateral, então vamos ter dois valores críticos, um para a cauda esquerda e outro para a cauda direita. Como o nível de significância não é dado, vou escolher α = 0,05 .

O valor crítico da esquerda vai ser o valor mostrado na tabela da distribuição qui-quadrado para:

1 - α 2 = 0,975

Então, o valor crítico da esquerda vai ser 12,401 .

E o valor crítico da direita vai ser o valor mostrado na tabela da distribuição qui-quadrado para:

α 2 = 0,025

Então, o valor crítico da direita vai ser 39,364 .

Passo 3

Vamos dar uma olhada no gráfico abaixo:

Como χ 2 = 15,627 está fora da região crítica, não rejeitamos a hipótese nula H 0 .

Resposta

Não há evidencia amostral para apoiar a afirmação de que os homens na faixa etária 45-54 têm alturas com desvio-padrão diferentes dos na faixa etária 25-34.

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