Enunciado

Uma batelada de 500 reservatórios para suco congelado de laranja contém 5 que são defeituosos. Dois são selecionados ao acaso, sem reposição, da batelada. Sejam A e B os eventos em que o primeiro e o segundo reservatórios selecionados sejam defeituosos, respectivamente.

  1. Os eventos A e B são independentes?
  2. Se a amostragem fosse feita com reposição, A e B seriam independentes?

Passo 1

Eles nos dão os seguintes eventos:

A = { o   p r i m e i r o   r e s e r v a t ó r i o   é   d e f e i t u o s o }

B = { o   s e g u n d o   r e s e r v a t ó r i o   é   d e f e i t u o s o }

Usando:

P ( A ) = # r e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s   e m   A # r e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s   n o   e s p a ç o   a m o s t r a l

então, o seguinte é verdade:

P ( A ) = 5 500 = 0.01

onde o número de resultados favoráveis em A é 5 porque nós temos 5 reservatórios defeituosos.

Se para dois eventos A e B temos:

P ( A | B ) = P ( A )

dizemos que são independentes. Eles são dependentes de outra forma.

Passo 2

A probabilidade condicional de A dado que o evento B ocorreu, para P ( B ) > 0 , é

P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B )

para quaisquer dois eventos A e B.

Portanto:

P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B )

Usando a lei da probabilidade total, temos:

P ( B ) = P ( B | A ) × P ( A ) + P ( B | A ' ) × P ( A ' ) = 0.01

Passo 3

Suponha que possamos selecionar o primeiro elemento de um par ordenado em n 1 maneiras, e que para cada elemento selecionado podemos selecionar o segundo elemento de n 2 maneiras, então temos o número de pares como n 1 n 2 .

O número de resultados favoráveis ​​na intersecção das ovelhas A e B é

5 × 4 = 20

onde n 1 = 5 e n 2 = 4 . Isso ocorre porque podemos pegar o primeiro recipiente com defeito de 5 maneiras (5 recipientes diferentes) e o segundo de 4 maneiras (porque escolhemos um na primeira seleção).

O número de resultados no espaço amostral seria calculado da mesma forma como o número de resultados favoráveis, para n 1 = 500 (na primeira seleção nós temos 500 contêineres) e n 2 = 499 (porque pegamos um). Portanto:

P ( A ∩ B ) = 5 × 4 500 × 499 = 20 249500

Nós temos o seguinte

P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 20 / 248500 0.01 = 0.008

e

P ( A ) = 0.01

Portanto

P ( A | B ) = 0.008 ≠ 0.01 = P ( A )

o que significa que os eventos A e B não são independentes.

Passo 4

Letra b:

Suponha que a amostragem foi feita com reposição. As probabilidades de A e B são agora:

P ( A ) = 5 500 = 0.01

P ( B ) = 5 500 = 0.01

porque o número de resultados favoráveis ​​em ambos os casos seria 5 (amostragem

com substituição). O número de resultados favoráveis ​​na interseção dos eventos A e B é

5 × 5 = 25

onde n 1 = 5 e n 2 = 5 . Isso ocorre porque podemos pegar o primeiro recipiente defeituoso em 5 jeitos (5 recipientes diferentes) e o segundo em 5 jeitos (porque as amostragens foram feitas com reposição, então ainda existem 5 recipientes defeituosos).

O número de resultados no espaço amostral seria calculado da mesma forma como o número de resultados favoráveis, para n 1 = 500 (na primeira seleção temos 500 contêineres) e n 2 = 500 (porque a amostragem foi feita com substituição). Portanto

P ( A ∩ B ) = 5 × 5 500 × 500 = 0.0001

Passo 5

Nós temos o seguinte

P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 0.01

e

P ( A ) = 0.01

Portanto

P ( A | B ) = 0.01 = 0.01 = P ( A )

o que significa que os eventos A e B são independentes.

Resposta

  1. O que significa que os eventos A e B não são independentes.
  2. O que significa que os eventos A e B são independentes.
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