Enunciado

Na transmissão de informação digital, a probabilidade de se ter um bit com alta, moderada e baixa distorção é de 0.01,0.04,0.95, respectivamente. Suponha que três bits sejam transmitidos e que a intensidade de distorção de cada bit seja considerada independente. Sejam X e Y os dois números de bits com distorção alto e moderada, respectivamente, dos três transmitidos. Determine o seguinte:

  1. qual é a probabilidade de dois bits terem distorção alga e um ter distorção moderada?
  2. Qual é a probabilidade e todos os três bits terem distorção baixa?
  3. A distribuição de probabilidades, a média e a variância de X.
  4. A distribuição de probabilidades condicionais, a média condicional e a variância condicional de X, dado que Y=2.

Passo 1

Temos distorção alta (evento H), moderada (evento M) e baixa (evento L).

Seja:

p 1 = P ( H ) = 0.01

p 2 = P ( M ) = 0.04 ,

p 3 = P ( L ) = 0.95

e a quantidade de distorção de cada bit é considerada independente. Sejam X e Y o número de bits com distorção alta e moderada dentro dos três, respectivamente.

Temos que a função de massa seguirá uma distribuição multinomial

f X Y ( x , y ) = 3 ! x ! y ! ( 3 - x - y ) ! p 1 x p 2 y p 3 3 - x - y

De três acertos, escolhemos x para estar com alta distorção e y com moderado e o resto são distorções baixas, isso significa que podemos calcular probabilidades acima assim.

Ao multiplicar as probabilidades, obtemos f X Y ( x , y ) para cada x , y ∈ { 0,1 , 2,3 } . Após o cálculo nós temos:

Não é possível obter 2 com distorção alta e 2 com distorção moderada de 3 bits. Mesma explicação para os outros zeros.

Passo 2

Letra a:

Para dois bits com alta distorção, definimos x = 2 e para uma distorção moderada, definimos y = 1, obtemos f X Y ( 2,1 ) = 0.000012 da tabela.

Passo 3

Letra b:

A probabilidade de que todos os três tenham baixa distorção é para x = 0 e y = 0 que é na verdade f X Y ( 0,0 ) = 0.85738 da tabela.

Passo 4

Letra c:

Calculamos a distribuição marginal por definição:

P ( X = x ) = ∑ y ∈ R Y P ( X = x , Y = y )

O que significa que é uma soma das probabilidades em cada linha, ou podemos escrever como:

A expectativa matemática da variável aleatória discreta X é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( X = x ) :

E ( X ) = ∑ x P ( X = x )

Usando a definição, obtemos:

E ( X ) = 0.03

V ( X ) é a variÂncia da variável aleatória X, definida como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E ( X 2 ) - E ( X ) 2

Para calcular E ( X 2 ) , observe que X 2 é uma variável aleatória discreta e que pode ser escrito como g ( X ) = X 2 nós sabemos que:

E ( g ( X ) ) = ∑ x g ( x ) P ( X = x )

Usando isso, temos:

E ( X 2 ) = 0.031032

E agora, temos:

V ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 = 0.03

Passo 5

Letra d:

Da definição de probabilidade condicional temos:

P ( A | B ) = P ( A , B ) P ( B )

onde A e B são eventos, e P ( B ) > 0 . Nós podemos usá-lo para a função de massa também, então temos:

f X | Y = 2 = f X Y ( x , 2 ) f Y ( 2 )

Onde sabemos que f Y ( 2 ) = 0.004608 (soma da segunda coluna), e todos os valores de f X Y ( x , 2 ) para todo x ∈ { 0,1 , 2,3 } . Calculando o quociente, obtemos a distribuição, ou a função de massa:

Demos as definições acima, então vamos usá-las:

E ( X | Y = 2 ) = 0.01042

E ( X | Y = 2 ) 2 = 0.00011

V ( X | Y = 2 ) = 0.01042 - 0.00011 = 0.01031

Note que você pode notar que as probabilidades de distribuições não somam 1. isso é por causa dos cálculos! Além disso, existem muitas aproximações, então pode ser correto usar em vez de = , isso requer muito tempo para calculá-lo e existem algumas aproximações bem conhecidas de Distribuição Binomial/Distribuição Multinomial!

Resposta

  1. Ver resolução
  2. 0.85738
  3. Ver resolução, E ( X ) = 0.03 ,   V ( X ) = 0.03
  4. Ver resolução, E ( X ) = 0.01042 ,   V ( X ) = 0.01031
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