Enunciado

Calcule as esperanças condicionais E(Y|x) e E(X|y) para o Problema 21.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para pegar o que aconteceu lá na combinação das variáveis do problema 21 e encontrar as esperanças condicionais. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar o problema 21 (que também pega os dados da 19... @Alô Bussab, vamos parar de embolar a questão buscando em mais umas 2?? Obrigada). Voltando nele, vemos que:

“Para todos os valores de x maior do que 0, o y da função fica variando entre os valores positivos, acompanhando aquela função exponencial dada ali. Para quaisquer outros números, a função vale zero. Então, com isso, já sabemos nossos limites de integração.”

Bom, agora precisamos redefinir nossa função para uma forma que possamos trabalhar com ela.

f y = ∫ e - ( x + y ) d x =   e - y

f x = ∫ e - ( x + y ) d y =   e - x

f x / y = f x , y f y = e - x + y e - y =   e - x  

f y / x = f x , y f x = e - x + y e - x =   e - y

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular as esperanças condicionais!!

E ( Y / X ) = ∫ y . f y / x ( y / x ) d y = 1

E ( X / Y ) = ∫ x . f x / y ( x / y ) d x = 1

Resposta

E ( Y / X ) = ∫ y . f y / x ( y / x ) d y = 1

E ( X / Y ) = ∫ x . f x / y ( x / y ) d x = 1

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