Enunciado

O câncer de próstata é o tipo de câncer mais comum entre os homens. Para verificar se alguém tem câncer de próstata, os médicos realizam com frequência um teste que mede o nível de PSA produzido pela próstata. Embora altos níveis de PSA sejam indicativos de câncer, o teste é notoriamente pouco confiável. De fato, a probabilidade de que um homem que não tenha câncer apresente níveis elevados de PSA é de aproximadamente 0,135, valor que cresce para aproximadamente 0,268 se o homem tiver câncer. Se,com base em outros fatores, um fisiologista tiver 70% de certeza de que um homem tem câncer de próstata, qual é a probabilidade condicional de que ele tenha câncer dado que

(a) o teste tenha indicado um nível elevado de PSA?

(b) o teste não tenha indicado um nível elevado de PSA?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamo lá, qual é o primeiro da imensa maioria dos problemas desse capítulo? Isso mesmo, identificar os eventos, então, vamos pensar, quais os eventos relacionados ao enunciado, não seria o fato de ter câncer e os níveis de PSA na próstata? Então, temos os seguintes eventos

C - O   h o m e m   t e m   c â n c e r

A - O   h o m e m   t e m   n í v e i s   e l e v a d o s   d e   P S A

As probabilidades são específicas para o teste de PSA, no teste em si, temos que a seguinte probabilidade de sucesso

P C = 0,7

Que é o dado do fisiologista, e também temos as condições de testes dos níveis de PSA, que são

P A C = 0,268

E

P A C C = 0,135

Para a letra a, tem a condição do teste ter indicado uma condição alta, ou seja, a seguinte probabilidade condicional P ( C | A ) , e para a letra b, temos o complementar dos níveis de PSA, logo é a seguinte probabilidade P ( C | A C ) . Então, vamos calcular as duas probabilidades!

Passo 2

A – Como C e C C são hipóteses concorrentes, e respectivamente, a união desses dois eventos é o espaço amostral, podemos utilizar a fórmula de Bayes para este caso, com isso, nós temos que

P C A = P A C P C P A C P C + P A C C P ( C C )

Agora, neste caso é somente substituir os valores, já que temos as probabilidades do lado direito da igualdade, com isso

P C A = 0,268 ∙ 0,7 0,268 ∙ 0,7 + 0,135 ∙ 0,3 = 0,1876 0,2281

Esse valor nos dá aproximadamente

P C A ≈ 0,8224  

Passo 3

B – A probabilidade de P ( C | A C ) pode ser calculado da definição:

P C A C = P C A C P A C

Do numerador, nós temos a seguinte relação:

P C A C = P A C C ∙ P C = 1 - P A C ∙ P ( C )

Substituindo os valores, nós obtemos o seguinte resultado

P C A C = 0,732 ∙ 0,7 = 0,5124

Já na parte do denominador, nós temos que

P A C = 1 - P A = 1 - 0,2281 = 0,7719

Agora, é somente substituir os valores

P C A C = 0,5124 0,7719

Isso nos dá o seguinte valor aproximado

P C A C ≈ 0,6638

Resposta

a )   P C A ≈ 0,8224  

b ) P C A C ≈ 0,6638

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