Enunciado

Em certa cidade, o consumo diário de energia elétrica, em milhões de quilowatts-hora, é uma variável aleatória X com distribuição gama com média μ = 6 e variância σ 2 = 12 .

(a) Determine os valores de α e β .

(b) Determine a probabilidade de que, em um dia qualquer, o consumo de energia elétrica exceda 12 milhões de quilowatts-hora.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A variável aleatória X representa o consumo diário de energia elétrica, em milhões de quilowatts-hora.

Sendo que a variável X é uma distribuição gama com média μ = 6 e variância σ 2 = 12 .

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A fórmula da média é dada por:

μ = α β

E a fórmula da variância é:

σ 2 = α β 2

Então, juntando as duas equações e substituindo os valores do enunciado, podemos concluir que:

6 β β 2 = 12

β = 2

Voltando para a equação da média:

6 = α 2

α = 3

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade de o consumo de energia elétrica exceder 12 milhões quilowatts-hora. Sendo que a variável X tem distribuição gama com os parâmetros α = 3 e β = 2 .

P X > 12 = 1 - P X ≤ 12

= 1 - ∫ 0 12 1 4 2 x 3 - 1 e - x / 2 d x

= 1 - 1 16 ∫ 0 12 x 2 e - x / 2 d x

Usando integral por partes duas vezes, encontramos:

= 1 - 1 16 - 2 x 2 e - x 2 - 4 x e - x 2 - 8 e - x 2 0 12

= 1 - 1 16 16 + 400 e - 6

= 1 - 1 + 25 e - 6

P X > 12 = 0,062

Resposta

a) α = 3 e β = 2

b) 0,062

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