Enunciado

Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:

(f) a variância de Y = 3 X + 2 .

Passo 1

Antes de começar, é muito importante que você se lembre da seguinte propriedade da variância:

sigma^2 (Y) = sigma^2 (3 X + 2) = 3^2 sigma^2 ( X )

Ou seja, precisamos obter:

sigma^2 (X) = E (X^2) - E (X)^2

Como já obtivemos E ( X ) na letra E dessa questão, só precisamos da esperança de X^2 , dada por:

E (X^2) = int_(- oo)^(+ oo) x^2 f (x) d x

Lembrando sempre que a função densidade nessa questão foi definida assim:

f (x) = {[[(1)/(10),e^((- x)/(10)),,,,,,,,,x,>=,0],[,,0,,,,,,,,c,a,s,o,,c,o,n,t,r,á,r,i,o]])

Passo 2

Então precisamos do seguinte:

E (X^2) = int_(- oo)^0 x^2 f ( x ) d x + int_0^(+ oo) x^2 f (x) d x

Perceba que, f (x) = 0 quando x < 0 , nos resta:

E (X^2) = underset(I_1)(ubrace int_0^(+ oo) x^2 ((1)/(10) e^((- x)/(10))) d x)

Tudo indica que precisaremos fazer duas integrações por partes, bora na fé:

Definindo o seguinte:

{[[u,=,x^2],[d,u,=,2,x,,d,x],[d,v,=,(e^(- (x)/(10)))/(10),d,x],[v,=,-,[e^(- (x)/(10))]]])

Então,

I_1 = u v - int v d u = [- x^2 e^(- (x)/(10))] (+ oo)/(0) - int_0^(+ oo) - 2 x e^(- (x)/(10)) d x

De bate e pronto, note que o primeiro termo é zero, pois:

underset(x -> + oo)(lim) e^(- x) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(e^x) = (1)/(oo) = 0

Logo, ficamos com o seguinte:

I_1 = - underset(I_2)(ubrace int_0^(+ oo) - 2 x e^(- (x)/(10)) d x)

Agora, para I_2 :

{[[u,=,2,x],[d,u,=,2,d,x],[d,v,=,- e^(- (x)/(10)),d,x],[v,=,10,e^(- (x)/(10))]])

Novamente:

I_2 = [10 x e^(- (x)/(10))] (+ oo)/(0) - 2 int_0^(+ oo) 10 e^(- (x)/(10)) d x

Mais uma vez o primeiro termo zera, e ficamos com:

I_2 = 20 int_0^(+ oo) - e^(- (x)/(10)) d x = 10 [10 e^(- (x)/(10))] (+ oo)/(0) = - 200

Passo 3

Ou seja,

I_1 = - I_2 = 200

Concluimos que,

E (X^2) = 200

Retomando na variância:

sigma^2 (X) = E (X^2) - E (X)^2

Portanto,

sigma^2 = 200 - (10^2) = 100

E por ultimo, retomando em Y :

sigma^2 (Y) = 9 sigma^2 (X) = 900

Resposta

Então encontramos que

sigma^2 (Y) = 900

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em certa cidade, o consumo diário de energia elétrica, em milhões de quilowatts-hora, é uma variável aleatória X com distribuição gama com média μ = 6 e variância σ 2 = 12 .(a) Determine os valores de
Em uma cidade, o consumo diário de água (em milhões de litros) segue, aproximadamente, uma distribuição gama com α = 2 e β = 3 . Se a capacidade diária da cidade é de nove milhões de litros de água, q
Derive a média e a variância da distribuição Weibull.
A vida, em anos, de certo tipo de interruptor elétrico tem distribuição exponencial com vida média de β = 2 . Se 100 desses interruptores são instalados em sistemas diferentes, qual é a probabilidade
O tempo de resposta de computadores é uma importante aplicação das distribuições gama e exponencial. Suponha que um estudo sobre certo sistema de computador revele que o tempo de resposta, em segundos