Enunciado

Há uma chance de 50% de que uma rainha carregue o gene da hemofilia. Se ela for portadora do gene, então cada príncipe terá, independentemente, 50% de chance de ter hemofilia. Se a rainha não for portadora, o príncipe não terá a doença. Supondo que a rainha tenha tido três príncipes sem a doença, qual é a probabilidade de que ela seja portadora do gene?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Organizando os eventos e as probabilidades.

Vamos usar Q para representar o evento em que a rainha carrega o gene da hemofilia.

P Q = 0,5

P 1 para o evento no qual o primeiro príncipe carrega o gene da hemofilia.

P P 1 Q = 0,5 e P P 1 ' Q = 1 - P P 1 Q = 0,5

P 2 para o evento em que o segundo príncipe carrega o gene da hemofilia.

P P 2 Q = 0,5 e P P 2 ' Q = 1 - P P 2 Q = 0,5

P 3 para o evento no qual o terceiro príncipe carrega o gene da hemofilia.

P P 3 Q = 0,5 e P P 3 ' Q = 1 - P P 3 Q = 0,5

Agora, se a rainha não carrega o gene da hemofilia, os príncipes não terão a doença.

P P 1 Q ' = 0 e P P 1 ' Q 1 ' = 1 - P P 1 Q ' = 1

P P 2 Q ' = 0 e P P 2 ' Q 1 ' = 1 - P P 2 Q ' = 1

P P 3 Q ' = 0 e P P 3 ' Q 1 ' = 1 - P P 3 Q ' = 1

Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

Queremos a probabilidade de que dado que os 3 príncipes não tenham sido acometidos pela doença, qual a chance de a rainha ser portadora do gene. Então, precisamos achar P ( Q | P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' ) .

Pelo teorema de Bayes:

P Q P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' = P P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' Q P ( Q ) P P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' Q P Q + P P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' Q ' P ( Q ' )

Sabendo que os eventos são independentes, podemos usar as relações abaixo:

P P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' Q = P ( P 1 ' | Q ) ∙ P ( P 2 ' | Q ) ∙ P ( P 3 ' | Q )

= 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5

P P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' Q = 0,125

P P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' Q ' = P ( P 1 ' | Q ' ) ∙ P ( P 2 ' | Q ' ) ∙ P ( P 3 ' | Q ' )

= 1 ∙ 1 ∙ 1

P P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' Q ' = 1

Voltando para a fórmula de Bayes.

P Q P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' = ( 0,125 ) ( 0,5 ) 0,125 0,5 + ( 1 ) ( 0,5 )

P Q P 1 ' ∩ P 2 ' ∩ P 3 ' = 0,111

Resposta

0,111

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