Enunciado

Num colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais que 1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes desse colégio são homens. Se um estudante selecionado aletoriamente, tem mais que 1,80 m de altura, qual a probabilidade dele ser mulher?

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá relembrar um pouco da teoria de probabilidade.

Para este exercício iremos utilizar o Teorema de Bayes, porque os n eventos E 1 , E 2 ⋯ E n constituem uma partição do espaço amostral S (isto é, eles são dois a dois mutuamente exclusivos e tais que o evento soma dê o próprio espaço amostral):

P ( E i / X ) = P ( E i ) ∙ P ( X / E i ) ∑ P ( E i ) ∙ P ( X / E i )

Onde:

  • P E i > 0 ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   n );
  • X evento que só pode ocorrer como efeito de uma das causas mutuamente exclusivas E i .

Num colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais que 1,80 m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes desse colégio são homens. Se um estudante selecionado aletoriamente, tem mais que 1,80 m de altura, qual a probabilidade dele ser mulher?

Pelo enunciado temos que:

  • E 1 homens:
  • P E 1 = 0 , 60 → P ( X / E 1 ) = 0 , 05

  • E 2 mulheres:

P E 2 = 0 , 40 → P ( X / E 2 ) = 0 , 0 2

Passo 2

A probabilidade de que um estudante aleatório ter mais 1,80 m de altura seja mulher é:

P ( E 2 / X ) = P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) + P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 )

P ( E 1 / X ) = 0 , 40 ∙ 0 , 02 0 , 6 0 ∙ 0,0 5 + 0 , 40 ∙ 0,0 2 ∙ 100 % = 2 1 , 1 %

Até mais pessoal!

Resposta

P ( E 2 / X ) = 2 1 , 1 % .

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