Enunciado

Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que

fabrica apresenta-se abaixo de 23   m g por cigarro. Um laboratório realiza 6 análises

desse índice, obtendo:

27, 24, 21, 25, 26, 22.

Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente, com variância igual a 4,86   m g 2 . Pode-se aceitar, no nível de 10%, a afirmação do fabricante?

Passo 1

Temos:

X = í n d i c e   d e   n i c o t i n a   ( m g )

X ~ N ( 23   ; 4,86 )

Do enunciado:

População normalmente distribuída, com α = 10 %

n = 6   c i g a r r o s

X - = ∑ x i n = 24,1 7 m g

S 2 = ∑ x i 2 - n X - 2 n - 1 = 5,17 m g 2

Passo 2

Primeiro temos de testar a variância, usamos a seguinte aproximação:

Q = n - 1 S 2 σ 2 ~ X n - 1 2 D i s t r i b u i ç ã o   q u i - q u a d r a d o   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Teste de Hipótese: H 0 :   σ 2 = 4,86       e     σ 2 ≠ 4,86

Vamos Construir nossa Região Crítica: R C = q 0 ∈ R q 0 < X 1 - α 2 ; n - 1 2   o u   q 0 > X α 2 ; n - 1 2   }

Onde, X 0,05 ; 5 2 = 11,070     e     X 0,95 ; 5 2 = 1,145      

Portanto nossa RC fica assim:

R C = q 0 < 1,145   o u   t 0 > 11,070

Teste Sob H 0 :

q 0 = 5 .   5,17 4,86 = 5,319

q 0 não pertence à RC, logo não devemos rejeitar H 0 e podemos adotar a variância populacional como conhecida.

Passo 3

Agora, devemos usar a seguinte aproximação para o teste de hipótese das nicotina média:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N 0,1

Teste de hipótese: H 0 :   μ ≤ 23     e     H 1 :   μ > 23

Novamente, nossa região crítica:

R C = z 0 ∈ R z 0 > z 0,1 } = { z 0 > 1,28 }

Teste sob H 0 :

z 0 = 24,17 - 23 4,86 6 = 1,3

Resposta

Portanto, como t 0 = 1,3 ∈ R C , rejeitamos H 0 e existem evidencias de que a nicotina média nos cigarros é maior do que 23 m g , contrariando a afirmação do fabricante.

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