Enunciado

Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo, aleatoriamente, o ponto de furo. Não encontrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também não tenha sucesso, faz uma terceira e última tentativa. Admita probabilidade 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa região. Calcula a probabilidade de:

  1. Encontrar água na segunda tentativa.
  2. Encontrar água em até duas tentativas.
  3. Encontrar água.

Passo 1

Em (a) queremos saber a probabilidade de encontrar água na segunda tentativa de furo, ou seja, a primeira tentativa já foi feita, porém não foi encontrada água. Como a probabilidade de achar água em qualquer ponto dessa região é de 0,7, e, como não foi encontrada água na primeira tentativa, ela se encaixa nos outros 30% de chance de não se encontrar água.

Assim, para encontrarmos a probabilidade de encontrar água no segundo furo, basta multiplicar a probabilidade de “erro” do primeiro furo com a probabilidade de encontrar água em qualquer ponto, assim:

P E n c . 2 ª = P N ã o E n c . 1 ª × P ( E n c . )

onde, P E n c . 2 ª é a probabilidade de encontrar água na segunda tentativa, P N ã o E n c . 1 ª é a probabilidade de não encontrar água na primeira tentativa e P ( E n c . ) a probabilidade de encontrar água, assim:

P ( E n c . 2 ª ) = 0,3 × 0,7 = 0,21

Passo 2

Em (b) para encontrarmos água em até duas tentativas, temos três situações distintas, sendo elas:

  1. Encontrar água nas duas tentativas;
  2. Encontrar água na primeira tentativa, mas não encontrar na segunda tentativa;
  3. Encontrar água na segunda tentativa, mas não encontrar água na primeira tentativa;

Daí, a probabilidade de encontrar água em até duas tentativas é a união das probabilidades dessas situações, pois, pense o seguinte, teremos de encontrar água nas duas perfurações OU na primeira e não na segunda OU na segunda e não na primeira, esse termo OU vai nos remeter a adição, a união, assim:

P A t é   2   t e n t a t i v a s = P 1 ∪ P 2 ∪ P ( 3 )

Temos em (1) que, para encontrar água nas duas tentativas, basta multiplicar a probabilidade de encontrar água na primeira tentativa e a probabilidade de encontrar água na segunda, daí:

P 1 = 0,7 × 0,7 = 0,49

Em (2), teremos um caso análogo a alternativa (a), onde acharemos água na primeira tentativa, mas não acharemos na segunda, assim:

P 2 = 0,7 × 0,3 = 0,21

Já em (3), teremos o caso da alternativa (a), assim, P 3 = 0,21 .

Daí, a probabilidade de achar água em até duas tentativas será:

P A t é   2   t e n t a t i v a s = 0,49 + 0,21 + 0,21 = 0,91

Passo 3

Em (c) queremos saber a probabilidade de encontrar água, assim, teremos algumas situações:

  1. Encontrar água nas três tentativas;
  2. Encontrar água em duas tentativas;
  3. Encontrar água em uma tentativa;

Para (1), veja que nas três perfurações encontraríamos água, assim:

P 1 = 0,7 × 0,7 × 0,7 = 0,343

Em (2), teremos que em duas perfurações encontraremos água, mas em uma não encontraremos, assim:

P ' 2 = 0,7 × 0,7 × 0,3 = 0,147

Esse valor que encontramos para P ' ( 2 ) será multiplicado por 3, pois poderá haver 3 situações nesse caso: encontrar água nas duas primeiras tentativas, encontrar água nas duas últimas tentativas ou encontrar água na primeira e na terceira tentativa, assim:

P 2 = 3 × 0,174 = 0,441

Em (3), teremos que encontraremos água em apenas uma tentativa, daí:

P ' 3 = 0,7 × 0,3 × 0,3 = 0,063

Também teremos que multiplicar P ' ( 3 ) pro 3, pois pode haver as seguintes situações nesse caso: encontrar água na primeira tentativa, encontrar água na segunda tentativa ou encontrar água na terceira tentativa, assim:

P 3 = 3 × 0,063 = 0,189

Logo, a probabilidade de encontrar água será a união das probabilidades dos 3 casos, assim:

P E n c o n t r a r   Á g u a = P 1 + P 2 + P 3 = 0,973

Resposta

  1. 0,21;
  2. 0,91;
  3. 0,973;
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