Enunciado

A probabilidade de encontrar gás numa certa região é 1/10. Três sondas idênticas estão perfurando de modo independente.

  1. Sabendo-se que uma delas (qualquer) não achou gás, qual a probabilidade das outras duas encontrarem?
  2. Sabendo-se que uma delas (qualquer) não achou gás, qual a probabilidade de encontrar gás na região através dessas perfurações?
  3. Sabendo-se que não mais de uma delas (qualquer) achou gás, qual a probabilidade de nenhuma encontrar gás?

Passo 1

Vamos chamar as sondas de A, B e C.

Em (a) sabemos que uma delas, não interessando qual, não achou gás, daí, queremos saber a probabilidade das outras duas encontrarem. Vamos então supor que a sonda que não achou gás foi a sonda C, assim, pelo teorema de Bayes, teremos que a probabilidade de A E B acharem gás será dada por:

P A ∩ B C c = P A ∩ B ∩ C c P C c

Note que o termo E representa uma interseção, assim:

P A ∩ B C c = 1 10 × 1 10 × 9 10 1 10 = 9 1000 1 10 = 9 100 = 0,09

Passo 2

Em (b) também temos que uma delas não achou gás, não interessando qual, e queremos saber a probabilidade de encontrar gás na região. Vamos supor que a sonda que não encontrou gás foi a sonda C novamente, assim, teremos as seguintes situações:

  • A e B vão encontrar gás;
  • A vai encontrar gás e B não;
  • B vai encontrar gás e A não;

Assim, teremos que a probabilidade de encontrar gás na região será dada por:

P A ∪ B C c = P A ∪ B ∩ C c P C c

P A ∪ B C c = P A + P B - P A ∩ B ⋅ P C c P C c = P A + P B - P ( A ∩ B )

P A ∪ B C c = 1 10 + 1 10 - 1 10 × 1 10 = 19 100 = 0,19

Passo 3

Já em (c) temos a informação que não mais de uma achou gás, ou seja, independente de qual sonda somente uma encontrou, e queremos saber a probabilidade das outras não encontraram. Vamos supor que a sonda C encontrou gás, então qual a probabilidade de A E B não encontrar gás, assim:

P A c ∩ B c C = P A c ∩ B c ∩ C P C = 9 10 × 9 10 × 1 10 1 10 = 81 100 = 0,81

Resposta

  1. 0,09;
  2. 0,19;
  3. 0,81.
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