Enunciado

O comprimento de uma capa de plástico, moldada por injeção e que reveste uma fita magnética, é normalmente distribuído, com um comprimento de 90,2 milímetros e um desvio-padrão de 0,1 milímetro.

  1. Qual é a probabilidade de uma peça ser maior que 90,3 milímetros ou menor que 89,7 milímetros?
  2. Qual deveria ser a média do processo a se usar de modo a se obter o maior número de peças entre 89,7 e 90,3 milímetros?
  3. Se peças que não estejam entre 89,7 e 90,3 milímetros forem descartadas, qual será o rendimento para a média do processo que você selecionou no item (b)?
  4. Suponha que o processo está centralizado, de modo que a média é 90 milímetros e o desvio-padrão é 0,1 milímetro. Suponha que 10 casos são medidos e considerados independentes.

  5. Qual é a probabilidade de os 10 casos estarem entre 89,7 e 90,3 milímetros?
  6. Qual é o número esperado dos 10 casos que estão entre 89,7 e 90,3 milímetros?

Passo 1

Seja X a variável aleatória normal com a média de μ 1 = 90.2 e desvio padrão σ = 0.1

Em seguida, introduzimos a variável aleatória Z da seguinte forma:

Z = X - 90.2 0.1

Z é a variável aleatória normal padrão com a função de distribuição cumulativa Φ ,   dada nas tabelas nos apêndices do livro.

Passo 2

Na letra a:

Vamos calcular usando as tabelas do livro:

P ( 89.7 < X < 90.3 ) = P ( - 5 < X - 90.2 0.1 < 1 ) = Φ ( 1 ) = 0.84

Mas estamos interessados ​​no evento complementar, então o resultado é:

1 - P ( 89.7 < X < 90.3 ) = 0.16

Passo 3

Na letra b:

Intuitivamente, podemos dizer (usando o fato de que a distribuição normal é simétrica em relação a sua média):

μ 2 = 90.3 + 89.7 2 = 90

Passo 4

Na letra c:

Vamos calcular usando as tabelas do livro:

P ( 89.7 < X < 90.3 ) = P ( - 3 < X - 90 0.1 < 3 ) = 2 Φ ( 3 ) - 1 = 0.9973

Passo 5

Na letra d:

Usando independência, calculamos (usando a parte anterior):

P ( 89.7 < X < 90.3 ) 10 = 0.9733

Passo 6

Na letra e:

Vamos calcular a média da variável aleatória binomial com os parâmetros n = 10 e p = 0.9973

n p = 9.973

Resposta

  1. 0.16
  2. 90
  3. 0.9973
  4. 0.9733
  5. 9.973
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