Enunciado

Considere uma amostra de x]9 xy>..., x observações

de uma distribuição de Weibull com parâmetros a e j S e

função de densidade

f { x ) = { a P ^ ' e'ax\ x > 0 ,

) 0, caso contrário,

para a, fò > 0.

(a) Escreva a função de verossimilhança.

(b) Escreva as equações que, quando resolvidas, fornecem

os estimadores de máxima verossimilhança de a e (3

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que x 1 , x 2 , … … , x n é uma amostra aleatória de tamanho extraída de uma distribuição Lognormal com parâmetros n e , então sua função de densidade é definida da seguinte forma: μ (a) σ A função de verossimilhança da distribuição Lognormal é calculada da seguinte forma,

L = L x 1 , x 2 , … , x n ; μ , σ   = ∏ i = 1 n     f x i ; μ , σ   = ∏ i = 1 n     1 2 π σ x i e - 1 2 σ 2 l n ⁡ x i - μ 2   = 1 2 π n 1 σ n ∏ i = 1 n     1 x i e 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2   = ( 2 π ) - n ( σ ) - n ∏ i = 1 n     1 x i e 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2

Portanto, a função de verossimilhança da distribuição Lognormal é:

L = ( 2 π ) - n ( σ ) - n ∏ i = 1 n     1 x i e - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2

Passo 2

(b) O estimador de máxima verossimilhança (MLE) para μ e σ 2 é calculado da seguinte forma,

L = ( 2 π ) - n ( σ ) - n ∏ i = 1 n     1 x i e - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 π     l n ⁡ x i - μ 2 - n ( l n ⁡ ( 2 π ) ) - n l n ⁡ ( σ ) + l n ⁡ 1 ∑ i = 1 n     x i l n ⁡ L = 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2 × l n ⁡ ( e )   logaritmo dos dois lados   l n ⁡ L = - n l n ⁡ ( 2 π ) - n l n ⁡ ( σ ) + l n ⁡ 1 ∑ i = 1 n     x i - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2 × 1 l n ⁡ L = - n l n ⁡ ( 2 π ) - n l n ⁡ σ 2 1 / 2 + l n ⁡ 1 ∑ i = 1 n     x i - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2 × 1

Diferenciar em relação a , μ e equivalendo a zero, para a equação ( () .

d l n ⁡ L d μ = 0   ⇒ d d μ - n l n ⁡ ( 2 π ) - n l n ⁡ σ 2 1 / 2 + l n ⁡ 1 ∑ i = 1 n     x i - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2 × 1 = 0   ⇒ - 1 2 σ 2 ( - 1 ) = 0   ⇒ ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - n μ = 0   ⇒ μ ˆ = 1 n ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i … ( I I )

Portanto, o estimador de máxima verossimilhança de μ é dado por,   μ ˆ = 1 n ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i .

Passo 3

Diferenciar em relação a , σ 2 e equacionando a zero, para a equação (l).

d l n ⁡ L d σ 2 = 0   ⇒ d d σ 2 - n l n ⁡ ( 2 π ) - n l n ⁡ σ 2 1 / 2 + l n ⁡ 1 ∑ i = 1 n     x i - 1 2 σ 2 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2 × 1 = 0   ⇒ - n 2 σ 2 + 1 2 σ 4 ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2 = 0   ⇒ - n σ 2 + ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2 = 0   ⇒ n σ 2 = ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ 2   ⇒ σ ˆ 2 = 1 n ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - μ ˆ 2   ⇒ σ ˆ 2 = 1 n ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i - 1 n ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i 2 da equa çã o   (II),  μ ˆ = 1 n ∑ i = 1 n     l n ⁡ x i

O estimador de máxima verossimilhança de σ 2 é, σ ˆ 2 = 1 n ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i - 1 n ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i 2 .

Resposta

Resposta nos passos.

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