Enunciado

Considere um baralho formado por sete cartas, marcadas 1, 2, ... , 7. Três dessas cartas são selecionadas aleatoriamente. Defina uma va W como W = soma dos números resultantes e calcule a fmp de W. Depois, calcule. [Sugestão: Considere os resultados como não-ordenados, de forma que (1, 3, 7) e (3, 1, 7) não sejam considerados resultados diferentes. Então haverá 35 resultados que podem ser relacionados. (Esse tipo de va, na verdade, surge juntamente com o teste de hipótese denominado teste de soma de postos de Wilcoxon, em que há uma amostra x e uma amostra y e W é a soma dos postos dos x na amostra combinada.)]

Passo 1

Nos é dado 7 cartas

e selecionamos 3 dos 7 dados. Ao somar as 3 cartas selecionadas, podemos obter qualquer número inteiro de 6 a 18, onde obtemos seis se as 3 cartas selecionadas forem

e obtemos 18 se as três cartas selecionadas forem

Isso indicou que a variável aleatória WW pode assumir valores de 6 a 18.

Existem 35 resultados diferentes no total (porque o resultado (1,2,4) é o mesmo que o resultado (1,4,2). Os resultados são dados da seguinte forma

Portanto, o número de maneiras que podemos selecionar 3 cartas de 7 é

7 3 = 35

que é o número total de resultados.

Passo 2

Para encontrar o fpm de W, nós precisamos encontrar

p i = P W = i ,   i = 6 , , … , 18

A única maneira de as 3 cartas selecionadas somarem 6 se as cartas

São selecionadas. Desde

P A = #   d e   r e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s   e m   A #   d e   r e s u l t a d o s   n o   e s p a ç o   a m o s t r a l

Nós temos que

p 6 = P W = 6 = 1 35

Da mesma forma, há apenas um resultado favorável para valores

i = 7,17,18 ,

Portanto

p i = 1 35 ,   i = 7,17,18 .

por exemplo, para i = 15, sabemos que o número de resultados favoráveis é 3, e os resultados favoráveis são

7,7 , 1 , 7,6 , 2 , 7,5 , 33

devemos notar que, por exemplo, o resultado

7,4 , 4

não é possível porque há apenas um cartão com o número 4. Portanto,

p 15 = 3 35

Use o mesmo método para obter outras probabilidades. A pmf da variável aleatória W é

Passo 3

O Valor Esperado (valor médio) da variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x) é

E X =   μ x =   ∑ x   ϵ   S x ∙ p x

usando isso para nossa variável aleatória W, o seguinte é verdadeiro

μ = 6 ∙ 1 35 + 7 ∙ 1 35 + 8 ∙ 2 35 + … + 18 ∙ 1 35

= 12

A variância de x, onde x é uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x), denotado por V(X)

V X =   ∑ x   ϵ   S x - μ 2 ∙ p x =   E X - μ 2

Portanto, para a variável aleatória W vale o seguinte

σ 2 =   ∑ i = 6 18 x - 12 2 ∙ p i

= 6 - 12 2 ∙ p 6 + 7 - 12 2 ∙ p 7 + 8 - 12 2 ∙ p 8 + … + 18 - 12 2 ∙ p 18

= 6 2 ∙ 1 35 + 5 2 ∙ 1 35 + 4 2 ∙ 2 35 + … + 6 2 ∙ 1 35

= 8

Resposta

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