Enunciado

Considere números de n algarismos onde cada um deles é um dos 10 inteiros 0, 1, ..., 9. Quantos números existem para os quais:

(a) não há algarismos consecutivos iguais?

(b) O 0 aparece como um algarismo um total de i vezes, i = O, ..., n??

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos descobrir novos números.

a) Vamos considerar a escolha de cada dígito do número como um evento aleatório e utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. E ver de quantas formas podemos formar um numero sem algarismos iguais consecutivos.

Existem 10 algarismos possíveis, mas o 0 não pode ser o primeiro algarismo pois se não o número não teria n algarismos ( 0432 é um número de 3 algarismos e não de 4 ).

Então restam 9 possibilidades para o primeiro digito, e para o segundo digito pode ser qualquer algarismo que não seja o escolhido anteriormente então também há 9 possibilidades, e assim por diante...

Para cada um dos n algarismos há 9 opções então pelo PFC teremos:

9 n diferentes números com n algarismos

Passo 2

b) vamos agora escolher um número de n dígitos com i numeros 0 , vamo primeiro escolher as posições que vamos colocar estes 0 ’s. Podemos coloca-los de n - 1 i maneiras (pois não podemos pegar a primeira posição).

Depois disto sobrarão n - i numeros que cada um deles podem ser um dos 9 algarismos restantes (não podem ser o 0 pois já o escolhemos. Havendo 9 n - i formas de se posicionar estes algarismos.

Então há n - 1 i 9 n - i diferentes números de n algarismos com i deles sendo o 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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