Enunciado

Considere um sistema de componentes no qual há cinco componentes independentes, cada um com uma probabilidade operacional de 0,92. O sistema tem uma redundância que faz com que ele não falhe se três dos cinco componentes estiverem operando. Qual é a probabilidade de que todo o sistema esteja operando?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos usar C 1 , C 2 , C 3 , C 4 e C 5 para serem as variáveis aleatórias que dizem se os componentes 1, 2, 3, 4 e 5 atendem às especificações. A variável C i assume o valor 1 se o componente atende a especificação e o valor 0 se não atende.

Pelos dados do enunciado:

P C 1 = 1 = P C 2 = 1 = P C 3 = 1 = P C 4 = 1 = P C 5 = 1 = 0,92

E o complemento é:

P C 1 = 0 = P C 2 = 0 = P C 3 = 0 = P C 4 = 0 = P C 5 = 0 = 0 , 08

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

O sistema continuará operando se pelo menos 3 componentes não falharem. Sendo assim, se 3, 4 ou 5 componentes funcionarem, o sistema estará operando.

Se exatamente 3 componentes estiverem operacionais, eles podem ser escolhidos em 5 3 = 10 maneiras. Portanto, a probabilidade de exatamente 3 componentes não falharem é:

10 ∙ 0,92 3 ∙ 0,08 2

De forma similar, se 4 componentes continuam operacionais, eles podem ser escolhidos em 5 4 = 5 maneiras. Então, a probabilidade de exatamente 4 componentes continuarem operacionais é:

10 ∙ 0,92 4 ∙ ( 0,08 )

E para os 5 componentes continuarem funcionando:

0,92 5

Sendo assim, nós temos a seguinte probabilidade para o sistema continuar operando:

P S i s t e m a   o p e r a n d o = P ∑ i = 1 5 C i ≥ 3

= P ∑ i = 1 5 C i = 3 + P ∑ i = 1 5 C i = 4 + P ∑ i = 1 5 C i = 5

= 10 ∙ 0,92 3 ∙ 0,08 2 + 10 ∙ 0,92 4 ∙ 0,08 + 0,92 5

P S i s t e m a   o p e r a n d o = 0,9955

Resposta

0,9955

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