Enunciado

Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A (ou seja, ocorre A c   com probabilidade 1   –   p ). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez.

Seja X   = número de repetição do experimento até que se obtenha A pela primeira vez. Então,

P X = j = 1 - p j - 1 × p ,   j = 1,2 , 3 , … ,

Pois se X   =   j , nas primeiras j   –   1 repetições A não ocorrem, ocorrendo na j-ésima.

  1. Prove que ∑ j - 1 ∞ P X = j = 1 .  

Passo 1

Dado X = número de repetição do experimento até que se obtenha A pela primeira vez. Assim:

P X = j = 1 - p j - 1 × p ,   j = 1,2 , 3 , ⋯ ,

⇒ ∑ j = 1 ∞ P X = j = p × ∑ j = 1 ∞ 1 - p j - 1

= p × 1 1 - ( 1 - p ) = p p = 1

Resposta

Como queríamos demonstrar.

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