Enunciado

O consumo de combustível de um certo automóvel é uma variável aleatória, medida em quilômetros por litro. Admita que a densidade de probabilidade dessa variável é expressa pela seguinte função:

f x = x - 10 ,         10 ≤ x ≤ 11 ;   12 - x ,         11 < x ≤ 12 ;     0 ,           c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Determine a média e a variância do consumo.
  2. Sendo R $ 0,7 o preço do litro de combustível, qual será a média da despesa de uma viagem de 100 quilômetros com esse automóvel??

Passo 1

Sendo X a nossa variável contínua e f ( x ) a respectiva função de densidade, podemos obter a média da seguinte forma:

E X = μ = ∫ - ∞ + ∞ x   f x d x

Onde f ( x ) é a nossa função densidade, então vamos dividir isso em intervalos:

E X = ∫ - ∞ 10 x   f x d x + ∫ 10 11 x   f x d x + ∫ 11 12 x   f x d x   + ∫ 12 + ∞ x   f x d x

Perceba que f x = 0 quando x < 10   o u   x > 12

Então ficamos com o seguinte:

E X = ∫ 10 11 x x - 10 d x + ∫ 11 12 x 12 - x d x

Para facilitar a visualização do que se passa, vamos abrir as somas:

E X = ∫ 10 11 x 2 d x - ∫ 10 11 10 x   d x + ∫ 11 12 12 x   d x   - ∫ 11 12 x 2 d x

Agora fica fácil né?

E X = 11 3 - 10 3 3 - 10 11 2 - 10 2 2 + 12 12 2 - 11 2 2 - 12 3 - 11 3 3

E essa jeringonça ai vai ser igual à:

E X = 11 k m / L

Passo 2

Top, agora outra coisa que deveríamos saber é que a variância pode ser obtida da seguinte forma:

σ 2 X = E X 2 - E X 2

Já achamos E ( X ) , certo? Então só precisamos de E ( X 2 ) , e não é nada absurdo, olha só:

E X 2 = ∫ - ∞ + ∞ x 2 f x d x

Percebeu o que mudou?? Bem tranquilo...

E X 2 = ∫ 10 11 x 3 d x - ∫ 10 11 10 x 2   d x + ∫ 11 12 12 x 2   d x   - ∫ 11 12 x 3 d x

Integrando:

E X 2 = 11 4 - 10 4 4 - 10 11 3 - 10 3 3 + 12 12 3 - 11 3 3 - 12 4 - 11 4 4

Ou seja,

E X 2 ≅ 121,17 k m L 2

Calma que ainda não é isso que queremos!

Retomando na variância:

σ 2 X = 121,17 - 11 2 = 0,17 k m L 2

Passo 3

Ora, se o carro faz em média 11 k m   com 1 L , numa viagem de 100 k m ele vai consumir um valor esperado de 100 11 L .

Se o valor do Litro de combustível está R $ 0,70 , então a viagem custará um valor esperado (médio) de:

100 11   .   0,70 = R $ 6,36

Resposta

  1. μ X = 11 k m L     E       σ 2 X = 0,17 k m L 2
  2. Se o carro consumir em média 11 k m L , então numa viagem de 100 k m gastaríamos em média R $ 6,36 com combustível.
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