Enunciado

Sendo X tilde U [0,4] , determine:

  1. P (0 < X < 2) .
  2. P (X < 2) .
  3. P (1 < X < 4) .
  4. P (X > 3) .
  5. P (X < 2,X > 1) .

Passo 1

Antes de tudo, é sempre bom lembrar que a função densidade de probabilidade (f.d.p) de um modelo uniforme, possui a seguinte forma:

f (x) = {[[(1)/(b - a),,,,,,a,<=,x,<=,b,;,,],[,0,,,,,,c,a,s,o,,c,o,n,t,r,á,r,i,o,.]])

Então para a nossa variável teremos o seguinte:

f (x) = {[[(1)/(4),,,,,,0,<=,x,<=,4,;],[0,,,,,,,c,a,s,o,,c,o,n,t,r,á,r,i,o,.]])

Beleza! Agora vamos começar,

  1. P ( 0 < x < 2 )
  2. P (0 < x < 2) = int_0^2 (1)/(4) d x = (1)/(4) [2 - 0] = (1)/(2)

    Bem tranquilo

  3. P ( X < 2 )
  4. P (X < 2) = int_(- oo)^2 f (x) d x

    Mas podemos dividir em intervalos:

    P (X < 2) = int_0^2 f (x) d x + int_(- oo)^0 f (x) d x

    Como f (x) = 0 quando x < 0 , então

    P (X < 2) = int_0^2 (1)/(4) d x = (1)/(4) [2 - 0] = (1)/(2)

    Passo 2

  5. P (1 < x < 4)
  6. P (1 < x < 4) = int_1^4 (1)/(4) d x = (1)/(4) [4 - 1] = (3)/(4)

  7. P ( X > 3 )
  8. P (X > 3) = int_3^(+ oo) f (x) d x

    Novamente:

    P (X > 3) = int_3^4 f (x) d x + int_4^(+ oo) f (x) d x

    Mas como f (x) = 0 quando x > 4 :

    P (X > 3) = int_3^4 (1)/(4) d x = (1)/(4) [4 - 3] = (1)/(4)

    Passo 3

  9. P (X < 2,X > 1)

Note que essa é um bocadinho diferente, trata-se da probabilidade condicional.

Traduzindo, devemos encontrar a probabilidade de X ser menor do que 2, sabendo que ela é maior do que 1.

Existe uma formulazinha para isso:

P (X < 2,X > 1) = (P (X < 2 nn X > 1))/(P (X > 1))

Repare que a intersecção de X > 1 nn X < 2 só pode ser P (1 < x < 2)

Então vamos calcular isso:

P (1 < x < 2) = int_1^2 (1)/(4) d x = (1)/(4)

E

P (x > 1) = int_1^(+ oo) f (x) d x = int_1^4 f (x) d x + int_4^(+ oo) f (x) d x

Portanto:

P (X > 1) = int_1^4 (1)/(4) d x = (1)/(4) [4 - 1] = (3)/(4)

Devolvendo na fórmula:

P (X < 2,X > 1) = ((1)/(4))/((3)/(4)) = (1)/(3)

Resposta

Concluindo:

(a) P (0 < x < 2) = 0,5

(b) P (X < 2) = 0,5

(c) P (1 < x < 4) = 0,75

(d) P (X > 3) = 0,25

(e) P (X < 2,X > 1) = 0,333

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