Enunciado

O consumo médio de gasolina num certo tipo de automóvel é de 15   k m / l i t r o , segundo informações da montadora. Uma revista especializada verificou o consumo de 25 desses veículos, escolhidos ao acaso, e constatou consumo médio de 14,3   k m / l i t r o . Admita que o consumo siga no modelo Normal com variância igual a 9 k m l i t r o 2 .

  1. Teste, ao nível de significância de 6 %, a afirmação da montadora de que a média do consumo é igual a 15 k m / l i t r o , contra a alternativa de ser igual a 14 k m / l i t r o .
  2. Determine a probabilidade de erro tipo I I .

Passo 1

Antes de mais nada vamos definir a nossa variável:

X = c o n s u m o   d o s   a u t o m ó v e i s   d e   u m a   c e r t a   m o n t a d o r a ( e m   k m / l i t r o s ) .

Sabendo que essa variável segue uma distribuição normal, com variância populacional conhecida, devemos assumir a seguinte aproximação:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N ( 0,1 )

Do enunciado temos:

X - = 14,3 k m / l i t r o

σ 2 = 9 k m l i t r o 2

n = 25   v e í c u l o s

α = 6 %

Passo 2

Agora, o teste de hipótese de acordo com o enunciado:

H 0 : μ = 15       c o n t r a       H 1 : μ = 14

Para isso precisamos de uma região crítica:

R C = z 0 ∈ R z 0 < - z α }  

Perceba que nossa RC será unilateral inferior, pois quando X - for menor do que um certo x c , onde 14 < x c < 15 , iremos rejeitar a hipótese de a média ser 15.

Portanto, vamos buscar na tabela de distribuição normal, um valor para z 0,06 , sabendo que:

P 0 ≤ Z < + ∞ - P 0 ≤ Z ≤ z 0,06 = 0,06

Como cada lado do gráfico vale 0,5:

P 0 ≤ Z ≤ z 0,06 = 0,44

Encontramos o seguinte:

P 0 ≤ Z ≤ z 0,06 = 0,44

Logo, z 0,06 = 1,56

E então a região crítica será da seguinte forma:

R C = z 0 < - 1,56

Passo 3

Por último, só precisamos fazer o teste sob H 0 :

Z = 14,3 - 15 9 25 = - 1,17

Ou seja, t 0 = - 1,17 não pertence à região crítica; então NÃO devemos rejeitar H 0 .

Resposta

Concluimos então que, existem evidências de que o consumo médio dos veículos seja realmente igual a 15 k m / l i t r o s , como afirma a montadora.

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