Enunciado

Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregadas domésticas na cidade de São Paulo. Foram sorteadas e entrevistadas 200 trabalhadoras. Admita que o desvio padrão dessa variável na cidade é de 0,8 salários mínimos.

  1. Você conhece a distribuição do estimador X - ? Se não, é possível fazer alguma suposição?
  2. Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mínimos ou é menor. Formule as hipóteses adequadas.
  3. Para um nível de significância de 3 % , construa a região crítica.
  4. Se a amostra forneceu média de 2,5 salários minímos, qual seria a conclusão?

Passo 1

Bom, primeiro nitidamente não sabemos a distribuição da população mas se ela for normal, então X - também será.

Mas para garantir, podemos usar o teorema do limite central que nos diz que para amostras muito grandes, a média amostral X - será normalmente distribuída mesmo que a variável não o seja.

Perceba então, ainda que não possamos dizer que X ~ N ( μ ; σ 2 ) , pelo T.L.C podemos sim dizer que:

X - ~ N μ ; σ 2 n

Com isso, como temos o conhecimento da variância populacional (enunciado), podemos usar a seguinte aproximação:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N 0,1

Passo 2

Então, fica fácil agora montar nosso teste de hipótese:

H 0 : μ = 3       c o n t r a         H 1 : μ < 3

Ele assume essa forma pois, primeiro que o sinal de igual sempre acompanha a hipótese nula e segundo que em caso de rejeitarmos ou não H 0 obtemos uma resposta clara para a questão em jogo:

“ o salário médio é ou não é menor do que 3?” Se aceitarmos H 0 dizemos que não, o salário não é menor do que 3; e caso rejeitarmos, sim o salário é realmente menor.

Beleza, agora com isso podemos montar nossa região crítica; como a hipótese alternativa apresenta sinal de menor, nossa RC será UNILATERAL INFERIOR.

Aaahh..então...Sim! quem define região crítica unilateral superior/inferior ( q u a n d o   H 1   a p r e s e n t a r > o u   < ) ou bilateral ( q u a n d o   H 1   a p r e s e n t a r ≠ ) sempre é H 1 .

Com isso, nossa região ficará assim:

R C = z 0 ∈ R z 0 < - z α

Como o gráfico de uma normal é simétrico(cada metade vale p = 0,5 ) :

P Z < - z = P Z > z

E a tabela sempre nos da a probabilidade de ocorrer:

P 0 ≤ Z ≤ z = p

Onde p = α 2   quando RC Bilateral ou p = α quando RC unilateral.

Portanto, repare que queremos um z 0,03 tal que P Z > z 0,03 = 0,03

Vamos buscar na tabela, sabendo que:

P 0 ≤ Z ≤ z 0,03 = 0,5 - 0,03 = 0,47

Ou seja,

P 0 ≤ Z ≤ 1,88 ≅ 0,47

Portanto z 0,03 = 1,88

E nossa região crítica assuma a seguinte forma:

R C = z 0 < - 1,88

Passo 3

Agora, finalmente podemos realizar o diaxo do teste.

Lembrando que ele sempre é realizado sob H 0 porque é sempre na hipótese nula que temos o sinal de igual ( ≤ o u ≥ o u = ) , e com isso podemos substituir na aproximação citada no passo 1:

z 0 = 2,5 - 3 0,8 2 200 = - 8,84

Muito claramente, temos z 0 ∈ R C , portanto devemos rejeitar H 0 .

Resposta

Concluindo então:

  1. Não podemos afirmar se tratar de uma variável com distribuição normal; mas usando o T.L.C podemos comfirmar a normalidade de X - .
  2. H 0 : μ = 3       c o n t r a         H 1 : μ < 3
  3. R C = z 0 < - 1,88
  4. Podemos afirmar que existem evidências de que o salário médio das empregadas na cidade é menor do que 3 salários mínimos.
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