Enunciado

Continuação do exercício 4-146. Refaça os itens a e B. Considere que a vida média seja uma variável aleatória lognormal, com amei mesmo a média e o mesmo desvio padrão.

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ e ω 2 . Lembre-se das fórmulas para a função de distribuição cumulativa, média e variância da distribuição lognormal:

F ( x ) = Φ ( l n x - θ ω )

μ = E ( X ) = e θ + ω 2 2

σ 2 = V a r ( X ) = e 2 θ + ω 2 ( e ω 2 - 1 )

A média e variância são dadas:

μ = 7000

σ 2 = 60 0 2

Vamos mudar as variáveis usando:

x = e θ

y = e ω 2

para obter:

μ = x y

σ 2 = x 2 y ( y - 1 )

Passo 2

Vamos então elevar tudo ao quadrado para calcular y:

e ω 2 = y = σ 2 μ 2 + 1 = 1.00735

Agora, vamos achar o valor de ω 2 :

ω 2 = l n 5 ≈ 7.32 × 1 0 - 3

Agora, simplesmente determine θ :

x = μ y = 10000 5 = 6974.42

θ = l n   4472.14 ≈ 8.85

Passo 3

Letra a:

Calculando usando as tabelas:

P ( X < 5800 ) = F ( 5800 ) ≈ 0.016

Passo 4

Letra b:

Vamos escrever a seguinte equação:

0.9 = P ( X ≥ x ) = 1 - F ( x ) = 1 - Φ l n x - θ ω

O que nos dá (novamente, vamos usar as tabelas ou algum software):

l n x - 8.85 0.00732 =   - 1.28

Vamos resolver a equação para encontrar x :

x ≈ 6250.94

Resposta

  1. 0.016
  2. ≈ 6251
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