Enunciado

Demonstre que (n+m r)=(n 0)(m r) + (n 1)(m r-1)+ ... + (n r)(m 0)

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos entender um pouco mais sobre contagem.

Vamos pensar que temos um grupo com n homens e m mulheres e queremos escolher r pessoas deste grupo. O número total de formas de se fazer isto seria n + m r .

Passo 2

Mas também poderíamos pensar em contar cada um dos casos. Se quiséssemos formar um grupo com 0 mulheres e só homens teríamos n 0 m r formas de se fazer isto.

Note que multiplicamos o numero de formas de se escolher uma mulher n 0 pelo numero de formas de se escolher um homem m r pois apareceu um “e” no nosso raciocínio então seguimos o princípio multiplicativo.

Passo 3

Ou se quiséssemos formar um grupo com 1 mulher e r - 1 homens teríamos outras n 1 m r - 1 formas de se fazer isto. Ou com 2 mulheres e r - 2 homens seriam n 2 m r - 2 . Ou ... Ou escolher r mulheres e 0 homens teriam n r m 0 . Estas são TODAS as formas de se formar o grupo inicial entre n + m pessoas.

Agora apareceram diversos “Ou” no nosso argumento e quando isto acontece precisamos somar o numero de possibilidades para obter o número total de casos.

Então teríamos que:

n + m r = n 0 m r + n 1 m r - 1 + … + n r m 0

Provando a igualdade inicial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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