Enunciado

Considere uma função f(x ,,..., x,) de n

variáveis. Quantas derivadas parciais de

ordem r a função f possui?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos contar quantas derivadas parciais uma função pode ter.

f ( x 1 , … , x n )

Como nada é dito sobre a função, vamos supor que ela é derivável em todo domínio por todas as variáveis.

Vamos derivar parcialmente esta função r vezes, mas não precisa ser na mesma variável, pode ser qualquer uma das n variáveis. Vamos chamar de n i o número de vezes que derivaremos a função pela variável x i .

Passo 2

O teorema de Schwartz diz que a ordem que estas derivadas ocorrem não altera a derivada final, então podemos considerar que:

∑ i = 1 n n i = r

Para encontrarmos a quantidade de derivadas parciais, basta que saibamos de quantas formas podemos resolver a equação a cima.

Segundo a formula do número de soluções inteiras não negativas de uma equação seria:

P r + n - 1 r , n - 1   = n + r - 1 r

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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